1. FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR (FPB)
Kita telah mengetahui bahwa semua faktor bulat positif dari
30 adalah 1,2,3,5,6,10,15,30. Sedangkan semua faktor bulat positif dari 45
adalah 1,3,5,9,15,45. Maka faktor-fakto perskutuan dari 30 dan 45 adalah 1,3,5,
dan 15. Dan faktor persekutuan terbesar dari 30 dan 45 adalah 15. Secara umum,
pengertian tentan faktor persekutuan dari dua bilangan bulat dituiskan sebagai
definisi berikut ini :
Definisi 2.2 :
Jika a dan b adalah bilangan-bilangan bulat, maka bilangan
bulat d disebut faktor persekutuan dari a dan b jika dan hanya jika d|a dan
d|b.
Karena 1 adalah pembagi (faktor) dari setiap bilngan bulat,
maka 1 adalah faktor persekutuan dari dua bilangan bulat sembarang a dan b.
Jadi himpunan faktor persekutuan dari a dan b tidak pernah kosong.
Setiap bilangan buat kecuali nol selalu membagi nol,
sehingga jika a = b = 0, maka setiap bilangan bulat merupakan faktor
persekutuan dari a dan b. Dalam hal ini, himpunan semua faktor persekutuan
bulat positif dari a dan b merupakan himpunan tak hingga.
Apabila sekurang-kurangnya satu dari a dan b tidak sama
dengan nol, maka himpunan semua faktor persekutuan bulat positif dari a dan b
merupakan himpunan berhingga. Sehingga mesti ada anggota dari himpunan tersebut
yang terbesar dan disebut faktor persekutuan terbesar (FPB) dari a dan b.
Secara formal, hal tersebut dinyatakan sebagai definisi berikut ini :
Definisi
2.3
Jika a dan b bilangan-bilangan bulat yang skurang-kurangnya
satu diantaranya tidak sama dengan nol, maka faktor persekutuan terbesar
(FPB) dar a dan b diberi simbol “(a,b)” adalah suatu bilangan bulat
positif, misalnya d, yang memenuhi :
(i)
d|a dan d|b, serta
(ii)
jika e|a dan e|b, maka e≤d.
Dari definisi tersebut dapat dimengerti bahwa jika (a,b) =
d, maka d=1. Dan apabila ada faktor persekutuan lain, misalnya e, maka e
= d.
Contoh 2.2
·
Faktor-faktor bulat positif dari -12
adalah 1,2,3,4,6,12.
·
Faktor-faktor bulat positif dari 30
adalah 1,2,3,5,6,10,15,30.
·
Maka faktor-faktor persekutuan yang
positif dari -12 dan 30 adalah 1,2,3,6.
· Jadi
faktor persekutuan terbesar dari -12 dan 30 adalah 6, atau dapat ditulis secara
singkat sebagai (-12,30) = 6.
Selanjutnya dengan mudah dapat dtunjukkan bahwa (-5,5) = 5 ;
(8,15) = 1; (8,-36)=4; (-6,-42)=6. Perhatikan bahwa (30,105) = 15 dan (30:15,105:15) = (2,7) =
1. Apabila (a,b) = d, apakah (a:d, b:d)
= 1?
Misalkan (a:d,b:d)=c maka c ≥ 1 dan c | (a:d) dan c | (b:d).
c | (a:d)
maka ada bilangan bulat m, sehingga a : d = mc atau a = mcd.
c | (b:d)
maka ada bilangan bulat n, sehingga b : d = nc atau b = ncd.
Karena a = mcd dan b = ncd, maka cd adalah faktor
persekutuan dari a dan b.
Karena (a,b) = d, maka cd ≤ d, yaitu c ≤ 1, sebab d suatu
bilangan bulat positif.
Karena c ≥ 1 dan c ≤ 1, maka c = 1. Uraian tersebut merupakan bukti dari
teorema berikut ini :
Teorema 2.6
Jika
(a,b) = d, maka (a:d, b:d) = 1
Apabila
a dan b dua bilangan bulat positif dengan (a,b) = 1, maka dikatakan bahwa a dan
b saling prima atau a prima relatif terhadap b.
Misalkan a dan b dua bilangan bulat dengan a > 0, maka b dibagi oleh a akan
memberikan hasilbagi dan sisa pembagian. Hal ini dinyatakan sebagai teorema
berikut ini dan terkenal dengan nama Algoritma Pembagian.
Teorema
2.7
Jika
a dan b bilangan-bilangan bulat dengan a > 0, maka ada dengan tunggal
pasangan bilangan-bilangan bulat q dan r yang memenuhi b = qa + r, dengan 0 ≤ r
< a.
Bilangan-bilangan
bulat q dan r dalam teorema ini berturut-turutdisebut hasilbagi dan sisa dalam
pembagian b oleh a.
Maka
teorema tersebutdapat diperluas untuk a < 0, sehingga diperoleh akibat
sebagai berikut:
Akibat : Jika a dan b
bilangan-bilangan bulat dengan b ≠ 0, maka ada dengan tunggal pasangan
bilangan-bilangan bulat q dan r sedemikian hingga b = aq + r dengan 0 ≤ r <
|a|.
Teorema
2.8
Jika
b = aq + r, maka (b,a) = (a,r)
Dengan
menggunakan teorema ini, memudahkan kita untuk menghitung faktor persekutuan
tebesar dari sembarang bilangan bulat, meskipun bilangan-bilangan bulat
tersebut cukup besar.
Teorema
2.9
Apabila a dan b bilangan-bilangan
bulat tidak nol, maka ada bilangan-bilangan bulat x dan y sedemikian hingga ax
+ by = (a,b)
Teorema
2.10
Apabila
a dan b dua bilangan bulat tidak nol, maka a dan b saling prima jika dan hanya
jika ada bilangan-bilangan bulat x dan y yang mmenuhi ax + by = 1.
Dari
teorema 2.10 tersebut dinyatakan sebagai berikut :
Akibat
: Jika a | c dan b | c dengan (a,b) = 1, maka ab | c.
2. FAKTOR PERSEKUTUAN KECIL (KPK)
Misalnya, kelipatan bulat positif dari 3 adalah
3,6,9,12,15,18, . . .
Kelipatan bulat positif dari 4 adalah 4,8,12,16, 20, 24, 28,
. . .
Maka kelipatan persekutuan dari 3 dan 4 adalah 12, 24, 36,
48, . . .
Selanjutnya istilah “kelipatann bulat posoitif” hanya
dikatakan lebih singkat menjadi “kelipatan” saja. Selanjutnya secara umum
pengertian kelipatan persekutuan dari dua bilangan bulat dinyatakan dalam
definisi berikut ini:
Definisi 2.4
Misalkan a dan b adalah bilangan-bilangan bulat. m adalah
kelipatan persekutuan dari a dan b jika dan hanya jika a | m dan b | m.
Nol adaah suatu kelipatan persekutua dari a dan b. Ab dan
–ab masing-masing juga merupakan suatu kelipatan persekutuan dari a dan b. Jadi
himpunan semua keipatan persekutuan ulat positif dari a dan b tdak ernah sama
dengan himpunan kosong.
Himpun semua kelipatan bulat positif dari 6 adalah
(6,12,18,24....)
Himpunan semua kelipatan bulat positif dari -9 adalah
(9,18,27,36,...)
Jadi himpunan semua kelipatan persekutuan dari 6 dan -9
adalah (18,36,54,72, . . .)
Sehingga kelipatan persekutuan terkecil dari 6 dan -9 adalah
18.
Ingat bahwa dalam himpunan bagian dari himpunan-himpunan
bilangan bulat positif selalu mempunyai anggota terkecil. Sehingga KPK dari
setiap ilangan bulat selalu ada.
Secara formal, KPK dari dua bilangan bulat didefinisiskan
sebagai berikut :
Definisi 2.5
Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari dua bilangan bulat
tidak nol a dan b adalah suatu bilangan bulat positif m ditulis (a,b) =
m, apabila memenuhi :
(i)
a | m dan b | m,
(ii)
Jika a | c dan b | c maka m ≤ c.
Dalam definisi ini dapat dimengerti
bahwa kelipatan dari setiap dua bilangan bulat yang tidak 0 selalu merupakan
suatu bilangan bulat positif. Dalam (i) pada definisi itu mengatakan bahwa
masing-masing dari dua bilangan itu membagi kelipatan persekutauan terkecilnya.
Sedangkan (ii) mengatakan bahwa kelipatan persekutuan lainnya tidak lebih kecil
dari (KPK) dari dua bilangan itu.
Contoh 2.5
[6,8] = 24, maka 6 | 24 dan 8 | 24.
Kelipatan persekutuan yang lain,
misalnya 48, 72, 96, . . . masing-masing lebi besar dari 24.
Perhatikan pada contoh diatas, yaitu
himpunan semua kelipatan persekutuan bulat positif dari 6 dan -9 adalah
{18,36,54,72, . . .} dan KPK dari 6 dan -9 adalah 18 atau ditulis [6,-9] = 18.
Tampak disini bahwa semua kelipatan perekutuan dari 6 dan -9 selalu terbagi
oleh 18. Hal ini dapat dikaitkan bahwa setiap kelipatan persekutuan dari dua
bilangan bulat selalu terbagi oleh KPK dari dua bilangan tersebut. Hal ini
dinyatakan sebagai teorema berikut ini :
Teorema 2.12
Jika c adalah suatu kelipatan
persekutuan dari dua bilangan bulat tidak nol a dan b, maka KPK dari a dan b
membagi c, yaitu (a,b) | c.
Bukti :
Misalkan [a,b] = m, maka harus
ditunjukkan bahwa m | c. Andaikan m | c, maka menurut algoritma pembagian, ada
bilangan bulat q dan r sedemikian hingga : c = qm + r dengan 0 < r
< m.
Karena c adalah kelipatan
persekutuan dari a dan b, maka a | c dan b | c.
Karena [a,b] = m maka a | m dan b |
m.
A | m maka a | qm dan a | c, maka a
| (c-qm).
Ini berarti a | r.
Demikian pula b| m maka b | qm dan
karena b | c, maka b | (c-qm).
Berarti b | r.
Karena a | r dan b | r maka r adalah
kelipatan persekutuan dari a dan b.
Tetapi karena [a,b] = m dan 0 < m
< r, maka hal tersebut tidak mungkin (kontradiksi). Jadi pengandaian diatas
tidak benar, berarti m | c atau [a,b] | c.
Perhatikan bahwa [6,9] = 18 dan [2.6,
2.9] = [12,18] = 36.
Tampak bahwa [2.6,2.9] = 2 [6,9].
Hal ini memberikan ilustrasi dari teorema berikut ini :
Teorem 2.11
Jika c > 0, maka [ca,cb] = c
[a,b]
Bukti :
Misalkan [a,b] = d, maka a | d dan b
| d sehingga ac | dc dan bc | dc. Hal ini berarti dc adalah kelipatan dari
persekutuan ac dan bc. Dan menurut teorema 2.10, maka [ac, bc] | dc.
Karena [ac,bc] adalah suatu
kelipatan dari ac, maka [ac,bc] adalah suatu kelipatan dari c. Misalkan [ac,
bc] = mc, maka mc | sehingga m | d. Karena [ac, bc] = mc, maka ac | mc dan bc |
mc, sehingga a | m dan b| m, dan menurut teorema 2.12 maka [ab] | m, yaitu d |
m dan karena m | d, maka d = m. Sehingga dc = mc, yaitu c [ab] = [ac, bc].
Contoh 2.6 :
(1) [105, 45] = [15.7,15.3]
= 15[7,3]
= 15.21
= 315
(2) [18,30] = [6.3, 6.5]
= 6 [3,5]
= 6.15
= 90
Mengingat teorema tersebut, maka
dengan mengeluarkan faktor persekutuannya akan mmpermudah dalam mencari KPKnya.
Jika (a,b) = 1, berapakah [ab] ?
apakah [ab]=ab?
Kita tunjukkan sebagai berikut :
Jelas bahwa ab adalah suatu
kelipatan persekutuan dari a dan b, menurut teorema 2.12, maka [ab] | ab.
Dilain pihak, menurut akibat dari teorema 2.10, karena a | [ab] dan b | [ab]
dengan (ab) = 1 maka ab | [ab] dan karena [ab] | ab, maka disimpulkan [ab] =
ab.
Selanjutnya, apabila (ab) = d, maka
( , ) = 1.
Berdasarkan
pada kesimpulan diatas, maka [ , ] = .
Jika
kedua ruas dikalikan maka diperoleh bahwa :
[ ,
] = ab
d
[a,b]
= ab
(a,b)[a,b]
= ab
Uraian
diatas merupakan bukti dari teorema berikut ini :
Teorema
2.12
Jika
a dan b bilangan-bilangan bulat yang keduanya positif, maka :
(a,b) [a,b] = ab
Contoh 2.7
(1) (16,20) = 4, dan [16,20] = 80
(16,20) [16,20] = 4.80 = 320 = 16.20
(2) (25,18) = 1, dan [25,18] = 450
(25,18) [25,18] = 1.450 = 25.18
3. BILANGAN PRIMA
A. Definisi :
Bilangan
bulat positif yang lebih besar dari 1 dan tidak mempunyai faktor bulat positif
kecuali 1 dan bilangan bulat itu sendiri disebut bilangan prima.Bilangan bulat
positif yang lebih besar dari 1 dan bukan bilangan prima disebut bilangan
komposit.
B. Teorema-teorema bilangan bulat :
1. Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1
dapat dibagi oleh suatu bilangan prima
2. Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1
dapat dinyatakan sebagai suatu perkalian bilkangan-bilangan prima.
3. Jika suatu bilangan komposit,maka n memiliki faktor k
dengan 1<k≤
4. Jika suatu bilangan bulat positif n tidak memiliki
faktor prima p dengan 1<p≤
4. FAKTORISASI TUNGGAL
Pada sesi ini akan dipelajari bahwa pemfaktoran suatu
bilangan bulat positif atas faktor- faktor prima adalah tunggal, sehingga kita
mengenalnya sebagai faktorisasi tunggal.
Teorema faktorisasi tunggal :
1. Teorema 4.5 Jika p suatu bilangan prima dan p│ab, maka p│a
atau p│b
2. Teorema 4.6 Pemfaktoran suatu bilangan bulat positif yang
lebih besar dari 1 atas faktor-faktor prima adalah tunggal, kecuali urutan dari
faktor-faktornya.
3. Teorema 4.7 Banyaknya bilangan prima adalah tak berhingga.
4. Teorema 4.8 Dalam suatu barisan bilangan prima, jika pn
menyatakan bilangan prima ke-n, maka pn ≤ 22n-1
suatu
kelipatan persekutuan dari dua bilangan bulat tidak nol a dan b,maka KPK dari a
dan b membagi c yaitu (a,b) | c
2. Jika c > 0,maka (ca,cb) = c
(a,b)
