Keterbagian, Sifat-Sifat serta Contoh
I. DEFINISI
Pembagian
bilangan bulat merupakan bahan pelajaran matematika yang sudah diberikan di
sekolah dasar. Bahan pelajaran ini diperluas penggunaannya sampai pada
pemfaktoran prima, faktor persekutuan terbesar (FPB), kelipatan persekutuan
terkecil (KPK), dan keterbagian oleh bilangan tertentu (misalnya keterbagian
oleh 2,3, atau 9). Untuk memberikan dasar atau landasan yang lebih kuat kepada
guru matematika di sekolah, maka mereka perlu
belajar lebih mendalam tentang konsep-konsep dasar keterbagian.
Keterbagian
(divisibility) merupakan dasar pengembangan teori bilangan, sehingga konsep-konsep
keterbagian akan banyak digunakan didalam sebagian besar uraian atau penjelasan
matematis tentang pembuktian teorema. Keadaan inilah yang memberikan gagasan
tentang perlunya definisi keterbagian. Keterbagian atau divisibility adalah
sudut pandang matematika yang mempelajari suatu bilangan yang habis oleh
bilangan lain.
II. SIFAT-SIFAT KETERBAGIAN
Teorema 1
Jika a, b, dan c
adalah bilangan bulat dengan a│b dan b│c
maka a│c.
Bukti
a│b dan b│c maka
menurut Definisi, terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian sehingga c = bn = (am)n = a(mn). Jadi, c = a(mn).
Untuk suatu mn = p anggota bilangan
Bulat maka c = ap Akibatnya menurut Definisi, a│c.
Teorema 2
Jika a, b, dan c
adalah bilangan bulat dengan c│a dan c│b maka c│(am+bm). untuk suatu m,n
anggota bilangan bulat.
Bukti
c│a dan c│b maka terdapat bilangan
bulat x dan y sedemikian sehingga a =cx dan b =cy
Sehingga, am =
c(xm) dan bn =c(yn). untuk suatu xm = p
dan (yn)=q, Maka:
am + bn = c(p+q). Akibatnya,c│(am+bn).
Teorema 3
(Buchmann, 2002: 3)
a. Jika a│b dan b ≠ 0 maka |a| ≤ |b|.
b. Jika a│b dan b│a maka |a| = |b|.
Bukti
a. Jika
a│b dan b ≠ 0 maka menurut Definisi, terdapat m ≠ 0
sedemikian
sehingga b = am.
Karena b = am
maka |b| = |am| ≥ |a| sehingga, |a| ≤ |b|.
b. Andaikan a│b dan b│a.
Jika a = 0 maka b = 0 dan jika a ≠ 0
maka b ≠ 0.
Selanjutnya,
Jika a ≠ 0 dan
b ≠ 0 maka sesuai dengan Teorema 3a, |a| ≤ |b| dan |b| ≤ |a| sehingga
|a| = |b|.
III. CONTOH KETERBAGIAN
Untuk menguji suatu bilangan bulat
dapat dibagi (habis dibagi) atau tidak dapat dibagi oleh bilangan bulat lain
kita dapat menggunakan kalkulator atau dengan metode pembagian cara panjang.
Meskipun demikian, kita akan menggungkap cara lain untuk menguji keterbagian
beberapa bilangan bulat. Sebagai contoh, kita akan menentukan apakah 1734 habis
dibagi oleh 17. Untuk keperluan ini, perhatikan langkah-langkah berikut ini:
1734 = 1700 + 34
Karena
171700 dan 1734, menurut sifat keterbagian, 17(1700 + 34), atau 171734. Dengan
cara yang sama, kita dapat menentukan bahwa 17┼1735.
Untuk menentukan
apakah suatu bilangan bulat n dapat dibagi (habis dibagi) oleh bilangan bulat
lain d, kita pertimbangkan bahwa n sebagai jumlah atau selisih dua
bilangan-bilangan bulat di mana d paling sedikit dapat membagi satu dari
bilangan-bilangan bulat itu. Sebagai contoh, tentukan apakah 358 habis dibagi
oleh 2. Jelas sekali bahwa 358 dapat dibagi oleh 2 karena 358 adalah bilangan
genap. Hal ini karena digit satuannya 2. Selanjutnya perhatikan yang berikut
ini:
358 = 350 + 8 =
35(10) + 8
Kita
mengetahui bahwa 210 sehingga 235(10), dan 28 yang mengakibatkan 2(35(10) + 8).
Karena 2 membagi sebarang bilangan berkelipatan 10, untuk menentukan apakah
suatu bilangan dapat dibagi oleh 2 cukup dengan memperhatikan apakah digit
satuannya dapat dibagi oleh 2. Jika digit satuannya tidak dapat dibagi oleh 2
maka bilangan itu tidak dapat dibagi oleh 2.
Kita dapat mengembangkan
uji serupa ini untuk keterbagian oleh 5 dan 10. Secara umum, kita mempunyai
aturan-aturan keterbagian sebagai berikut:
Uji keterbagian
oleh 2.
Suatu bilangan
bulat dapat dibagi oleh 2 jika dan hanya jika digit satuannya dapat dibagi oleh
2.
Uji keterbagian
oleh 5.
Suatu bilangan
bulat dapat dibagi oleh 5 jika dan hanya jika digit satuannya dapat dibagi oleh
5. Hal ini berarti bahwa digit satuannya adalah 0 atau 5.
Uji keterbagian
oleh 10. Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 10 jika dan hanya jika digit
satuannya dapat dibagi oleh 10. Hal ini berarti bahwa digit satuannya adalah 0.
Selanjutnya kita
akan memperhatikan aturan keterbagian oleh 4 dan 8. Kita tahu bahwa 4┼10 dan
8┼10 sehingga tidak tepat jika kita digit satuan untuk keterbagian oleh 4 dan
8. Tetapi 4 atau 22 dapat membagi 102, dan 8 atau 23 dapat membagi 103. Pertama
kita akan mengembangkan suatu aturan keterbagian oleh 4. Perhatikan empat digit
bilangan n sebarang, sedemikian sehingga n = a.103 + b.102 + c.10 + d. Kita
tahu bahwa 4102 karena 102 = 4 . 25 dan akibatnya 4103. Karena 4102, 4b.102 dan
4a.103. Akhirnya, 4b.102 dan 4a.103 memberikan implikasi 4(a.103 + b.102).
Sekarang, keterbagian n = a.103 + b.102 + c.10 + d oleh 4 tergantung pada
keterbagian (c.10 + d) oleh 4. (c.10 + d) merupakan bilangan yang ditampilkan
oleh dua digit terakhir pada bilangan bulat n yang diberikan. Kita rangkum hal
ini di dalam uji berikut ini.
Uji keterbagian
oleh 4
Suatu bilangan
bulat dapat dibagi oleh 4 jika dan hanya jika dua digit terakhirnya menyatakan
bilangan yang dapat dibagi oleh 4. Untuk menyelidiki suatu bilangan bulat dapat
dibagi oleh 8, kita telah mengetahui bahwa pangkat terkecil dari 10 yang dapat
dibagi oleh 8 adalah 10. Karena 10 = 8 . 125. Akibatnya, untuk setiap bilangan
bulat n dan n 3, 10n juga dapat dibagi oleh 8.
Uji keterbagian
oleh 8.
Suatu bilangan
bulat dapat dibagi oleh 8 jika dan hanya jika tiga digit terakhirnya menyatakan
bilangan yang dapat dibagi oleh 8. Berikut ini adalah beberapa contoh
penggunaan uji keterbagian oleh 2, uji keterbagian oleh 4, dan uji keterbagian
oleh 8.
Contoh1.
a. Tentukan
apakah 97128 dapat dibagi oleh 2, 4, dan 8.
b. Tentukan
apakah 83026 dapat dibagi oleh 2, 4, dan 8.
Jawab.
a. 2 | 97128 karena 2 | 8
4 | 97128 karena
4 | 28
8 | 97128 karena
8 | 128
b. 2 | 83026 karena 2 | 6
4 | 83026 karena
4 | 26
8┼83026 karena
4┼026.
Selanjutnya,
kita perhatikan keterbagian suatu bilangan bulat oleh 3. Tidak ada pangkat dari
10 yang dapat dibagi oleh 3, tetapi bilangan-bilangan 9, 99, 999, dan yang
sejenisnya adalah dekat dengan bilangan pangkat ari 10 dan dapat dibagi oleh 3.
Kita tulis kembali bilangan-bilangan yang menggunakan 999, 99, dan 9 sebagai
berikut:
5721 = 5 . 103 + 7 . 102 + 2 . 10 + 1 = 5(999 +
1) + 7(99 +1) + 2(9 + 1) + 1
= 5 . 999 + 5 .
1 + 7 . 999 + 7 . 1 + 2 . 9 + 2 . 1 + 1
= (5 . 999 + 7 .
99 + 2 . 9) + ( 5 + 7 + 2 + 1)
Jumlah dari
bilangan-bilangan yang ada dalam kurung pertama dapat dibagi oleh 3. Jadi
keterbagian 5721 oleh 3 tergantung pada jumlah bilangan-bilangan yang ada di
dalam kurung ke dua. Di dalam kasus ini, 5 + 7 + 2 + 1 = 15 dan 3 15. Jadi 3
5721. Dengan demikian, untuk memeriksa apakah 5721 dapat dibagi oleh 3, kita
cukup memeriksa apakah 5 + 7 + 2 + 1 dapat dibagi oleh 3. Contoh ini membawa
kita pada uji keterbagian oleh 3 sebagai berikut.
Uji keterbagian
oleh 3
Suatu bilangan
bulat dapat dibagi oleh 3 jika dan hanya jika jumlah digit-digitnya merupakan
bilangan yang dapat dibagi oleh 3.
Kita dapat
menggunakan argumen yang serupa untuk digunakan membuktikan keterbagian suatu
bilangan bulat oleh 3, khususnya bilangan bulat bilangan bulat yang mempunyai 4
digit, n = a . 103 + b . 102 + c . 10 + d.
Karena a . 999 +
b . 99 + c . 9 + d dekat ke n dan dapat dibagi oleh 3, kita peroleh sebagai
berikut:
a . 103 + b .
102 + c . 10 + d = a . 1000 + b . 100 +
c . 10 + d
= a(999 + 1) +
b(99 + 1) + c(9 + 1) + d
= (a . 999 + b .
99 + c . 9) + (a . 1 + b . 1 + c . 1)
= (a . 999 + b .
99 + c . 9) + (a + b + c)
Karena 3 | 999,
3 | 99, dan 3 | 9, 3 | (a . 999 + b . 99 + c . 9).
Jika 3 (a + b +
c) maka 3 ((a . 999 + b . 99 + c . 9) + (a + b + c)). Hal ini berarti 3 n. Di
lain pihak, jika 3┼(a + b + c) maka 3┼((a . 999 + b . 99 + c . 9) + (a + b +
c)). Hal ini berarti 3┼n.
Karena 9 | 9, 9
| 99, 9 | 999, dan seterusnya dengan uji yang serupa dengan uji keterbagian
suatu bilangan bulat oleh 3, kita dapat menentukan keterbagian suatu bilangan
bulat oleh 9 Uji keterbagian oleh 9 Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 9
jika dan hanya jika jumlah dari digit-digitnya merupakan bilangan yang dapat
dibagi oleh 9.
Contoh 2.
a. Tentukan
apakah 1002 dapat dibagi oleh 3 dan dapat dibagi oleh 9.
b. Tentukan
apakah 14238 dapat dibagi oleh 3 dan dapat dibagi oleh 9.
Jawab.
a. Karena 1 + 0
+ 0 + 2 = 3 dan 3 | 3, akibatnya 3 | 1002.
Karena 9┼3,
akibatnya 9┼1002.
b. Karena 1 + 4
+ 2 + 3 + 8 = 18 dan 3 | 18, akibatnya 3 | 14238.
Karena 9 | 18,
akibatnya 9 | 14238.
Selanjutnya akan
kita perhatikan uji keterbagian suatu bilangan bulat oleh 7, oleh 11, dan oleh
6, yaitu sebagai berikut:
Uji keterbagian
oleh 7
Suatu bilangan
bulat dapat dibagi oleh 7 jika dan hanya jika bilangan yang dinyatakan tanpa
digit satuannya dikurangi dua kali unit satuan asalnya, dapat dibagi oleh 7.
Uji keterbagian
oleh 11
Suatu bilangan
bulat dapat dibagi oleh 11 jika dan hanya jika jumlah digit-digit yang berada
pada pangkat genap dari 10 dikurangi jimlah digit-digit yang berada pada
pangkat ganjil dari 10, dapat dibagi oleh 11.
Uji keterbagian
oleh 6 Suatu bilangan bulat dapat dibagi oleh 6 jika dan hanya jika bilangan
itu dapat dibagi oleh 2 dan 3.
Contoh 3.
a. Tentukan
apakah 8471986 dapat dibagi oleh 11.
b. Tentukan
apakah 462 dapat dibagi oleh: (i) 7, (ii)11, dan (iii) 6.
c. Tentukan
apakah 875 dapat dibagi oleh: (i) 7, (ii)11, dan (iii) 6.
Jawab.
a.
(6 + 9 + 7 + 8) – (8 + 1 + 4) = 17
Karena
11┼17, kita simpulkan 11┼8471986
b.
(i) 46 – 2 . 2 = 42 dan 7 | 42
Jadi,
7 | 462
(ii) (2 + 4) – 6 = 0 dan 11 | 0
Jadi,
11 | 462
(iii) 2 | 462 dan 3 | 462
Jadi
6 | 462
c.
(i)
87 – 2 . 5 = 77 dan 7 | 77
Jadi
7 | 875
(ii) (5 + 8) – 7 = 6 dan 11┼ 6
Jadi,
11┼875
(iii) 2┼875 karena 875 bilangan ganjil
Jadi
6┼875
0 komentar:
Posting Komentar