Pengertian Integral dan Differensial

INTEGRAL

Integral merupakan materi matematika yang termasuk pada aspek kalkulus. Materi Integral ini diberikan di kelas XII semester pertama. Integral merupakan invers dari diferensial(turunan), oleh karena itu sebagai materi prasyarat adalah materi turunan yang sudah diberikan di kelas XI semester kedua.
Materi Integral ini dibagi dalam beberapa bagian, sebagai berikut:
1. Pengertian Integral
Bagian ini membahas pengertian integral sebagai invers(kebalikan) dari turunan, baik turunan fungsi
aljabar maupun turunan fungsi trigonometri.
2. Integral Tentu
Pada bagian ini dibahas pengertian integral tentu yang diturunkan dari konsep luas daerah sebagai
limit jumlah. Menghitung nilai integral tentu dengan menggunakan teorema dasar kalkulus.
3. Teknik Pengintegralan
Bagian ini membahas teknik-teknik pengintergralan. ada 3 teknik yang digunakan:
- Pengintegralan dengan substitusi
- Pengintegralan dengan substitusi Trigonometri
- Pengintegralan Parsial
4. Penerapan Integral
Bagian ini membahas tentang penerapan Integral dalam menentukan:
- Luas daerah yang dibatasi kurva dan sumbu-sumbu koordinat
- Luas daerah antara 2 kurva
- Volume benda putar mengelilingi sumbu-X
- Volume benda putar mengelilingi sumbu-Y

Kualifikasi dan Tujuan

Tujuan dari pembelajaran Integral ini adalah siswa dapat:

• Mengenal arti Integral tak tentu
• Menurunkan sifat-sifat integral tak tentu dari turunan
• Menentukan integral tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri
• Menggunakan konsep integral tak tentu untuk menentukan fungsi yang berhubungan dengan masalah sehari-hari
• Mengenal arti integral tentu
• Menentukan integral tentu dengan menggunakan sifat-sifat integral
• Menyelesaikan masalah sederhana yang melibatkan integral tentu dan tak tentu
• Menentukan integral dengan cara substitusi untuk fungsi aljabar
• Menentukan integral dengan cara substitusi untuk fungsi trigonometri
• Menetukan integral dengan dengan cara parsial
• Menentukan integral dengan dengan cara substitusi trigonometri

• Menggambar suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva
• Merumuskan integral tentu untuk luas daerah
• Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu pada koordinat.
• Menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh dua kurva
• Merumuskan integral tentu untuk volum benda putar dari daerah yang diputar terhadap sumbu koordinat
• Menghitung volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu X.
• Menghitung volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu Y
• Menghitung volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh 2 kurva mengelilingi sumbu X
• Menghitung volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh 2 kurva mengelilingi sumbu Y

DIFFERENSIAL
Dikenal sebagai hitung differensial berkaitan dengan mengenai integral karena hitung differensial bagian dari kalkulus.
Kalkulus meliputi hitung differensil dan integral. Kadang-kadang disebut juga “Kalkulus differensial dan kalkulus integral”.

Metode integral numerik merupakan integral tertentu yang didasarkan pada hitungan perkiraan. Hitungan perkiraan tersebut dilakukan dengan fungsi polinomial yang diperoleh berdasar data tersedia. Bentuk paling sederhana adalah apabila tersedia dua titik data yang dapat dibentuk fungsi polinomial order satu yang merupakan garis lurus (linier).

Integral

Dari Wikipedia bahasa Indonesia, ensiklopedia bebas

Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah $\int\,$

Integral terbagi dua yaitu integral tak tentu dan integral tertentu. Bedanya adalah integral tertentu memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tertentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas.

Mencari nilai integral

Substitusi

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int \frac{ln x}{x}\,dx\,$

$t = \ln x, dt = \frac{dx}{x}$

$\int \frac{ln x}{x}\,dx\, = \int t\,dt$

$= \frac {1}{2} t^2 + C$

$= \frac {1}{2} ln^2x + C$

Integrasi parsial

Integral parsial menggunakan rumus sebagai berikut:

$\int f(x)g(x)\,dx = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)$

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int \ln x \,dx\,$

$f'(x) = 1, f(x) = x, g(x) = ln x, g'(x) = \frac{1}{x}\,$

Gunakan rumus di atas

$\int \ln x\ dx = x ln x - \int x\frac{1}{x}\,dx\,$

$= x ln x - \int 1\,dx\,$

$= x ln x - x + C\,$

Substitusi trigonometri

Bentuk	Gunakan
$\sqrt{a^2-b^2x^2}\,$	$x = \frac{a}{b}\sin \alpha\,$
$\sqrt{a^2+b^2x^2}\,$	$\!\, x = \frac{a}{b}\tan \alpha\,$
$\sqrt{b^2x^2-a^2}\,$	$\, x = \frac{a}{b}\sec \alpha\,$

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\,$

$x = 2 \tan A, dx = 2 \sec^2 A\,dA\,$

$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{(2 tan A)^2\sqrt{4 + (2 tan A)^2}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 + 4 tan^2A}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4(1+tan^2A)}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A\sqrt{4 sec^2A}}\,$

$= \int \frac {2 sec^2 A\,dA}{4 tan^2A.2sec A}\,$

$= \int \frac {sec A\,dA}{4 tan^2A}\,$

$= \frac {1}{4}\int \frac {secA\,dA}{tan^2A}\,$

$= \frac {1}{4}\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$

Cari nilai dari: $\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$ dengan menggunakan substitusi

$t = sin A, dt = cos A\,dA\,$

$\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$

$= \int \frac{dt}{t^2}\,$

$= \int t^{-2}\,dt\,$

$= -t^{-1} + C= -\frac{1}{sin A} + C\,$

Masukkan nilai tersebut:

$= \frac {1}{4}\int \frac{cos A}{sin^2A}\,dA\,$

$= \frac {1}{4}.-\frac{1}{sin A} + C\,$

$= -\frac {1}{4 sin A} + C\,$

Nilai sin A adalah $\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}$

$= -\frac {1}{4 sin A} + C\,$

$= -\frac {\sqrt{x^2+4}}{4x} + C\,$

Integrasi pecahan parsial

Contoh soal:

Cari nilai dari: $\int\frac{dx}{x^2-4}\,$

$\frac{1}{x^2-4} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-2}\,$

$= \frac {A(x-2) + B(x+2)}{x^2-4}\,$

$= \frac{Ax-2A+Bx+2B}{x^2-4}\,$

$=\frac{(A+B)x-2(A-B)}{x^2-4}\,$

Akan diperoleh dua persamaan yaitu $A+B = 0\,$ dan $A-B = -\frac{1}{2}$

Dengan menyelesaikan kedua persamaan akan diperoleh hasil $A = -\frac{1}{4}, B = \frac{1}{4}\,$

$\int\frac{dx}{x^2-4}\,$

$= \frac{1}{4} \int (\frac{1}{x-2} - \frac {1}{x+2})\,dx\,$

$= \frac{1}{4} (ln|x-2| - ln|x+2|) + C\,$

$= \frac{1}{4} ln|\frac{x-2}{x+2}| + C\,$

Rumus integrasi dasar

Umum

Bilangan natural

$\int e^u du= e^u + C\,$

Logaritma

$\int \log_b(x) \,dx = x \log_b(x) - \frac{x}{\ln(b)} + C = x \log_b \left(\frac{x}{e}\right) + C$

Trigonometri

$\int\sin x\,dx = -\cos x + C\,$

$\int\cos x\,dx = \sin x + C\,$

$\int\tan x\,dx = \ln |\sec x| + C\,$

$\int\cot x\,dx = \ln |\sin x| + C\,$

$\int\sec x\,dx = \ln |\sec x + \tan x| + C\,$

$\int\csc x\,dx = \ln |\csc x - \cot x| + C\,$

$\int\sec^2 x\,dx = \tan x + C\,$

$\int\csc^2 x\,dx = - \cot x + C\,$

$\int\sec x\tan x\,dx = \sec x + C\,$

$\int\csc x\cot x\,dx = -\csc x + C\,$

Integrasi adalah salah satu dari dua operasi dasar kalkulus; operasi yang lain adalah penurunan(derivasi). Pada penurunan, terdapat aturan yang menjadikan turunan dari fungsi-fungsi kompleks dapat ditelusuri dari penurunan fungsi-fungsi komponennya yang lebih sederhana. Hal ini tidak terdapat dalam integrasi sehingga tabel integral biasanya amat berguna.

Artikel ini memberikan tabel operasi integrasi yang umum dijumpai. Pada daftar integrasi di bawah ini,C menyatakan konstanta sebarang.

$\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstan)}\,\!$ Aturan integrasi dari fungsi-fungsi umum

$\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx$
$\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx$
$\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(untuk } n\neq -1\mbox{)}\,\!$
$\int {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C$
$\int {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C$

Integral dari fungsi-fungsi sederhana

Fungsi rasional

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Daftar integral dari fungsi rasional

$\int \,{\rm d}x = x + C$

$\int x^n\,{\rm d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ jika }n \ne -1$

$\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C$

$\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C$

Fungsi irrasional

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Daftar integral dari fungsi irrasional

$\int {dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1} {x \over a} + C$

$\int {-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \cos^{-1} {x \over a} + C$

$\int {dx \over x \sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a} \sec^{-1} {|x| \over a} + C$

Logaritma

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Daftar integral dari fungsi logaritmik

$\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C$

$\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C$

Fungsi eksponensial

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Daftar integral dari fungsi eksponensial

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C$

Fungsi trigonometri

Artikel utama: Daftar integral dari fungsi trigonometri dan Daftar integral dari fungsi arc

$\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C$

$\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C$

$\int \tan{x} \, dx = \ln{\left| \sec {x} \right|} + C$

$\int \cot{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} \right|} + C$

$\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C$

$\int \csc{x} \, dx = -\ln{\left| \csc{x} + \cot{x}\right|} + C$

$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$

$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$

$\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C$

$\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = - \csc{x} + C$

$\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C$

$\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C$

$\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C$

$\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx$

$\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx$

$\int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C$

Fungsi hiperbolik

Artikel utama untuk bagian ini adalah: Daftar integral dari fungsi hiperbolik

$\int \sinh x \, dx = \cosh x + C$

$\int \cosh x \, dx = \sinh x + C$

$\int \tanh x \, dx = \ln| \cosh x | + C$

$\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C$

$\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C$

$\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C$

Fungsi inversi hiperbolik

$\int \operatorname{arsinh} x \, dx = x \operatorname{arsinh} x - \sqrt{x^2+1} + C$

$\int \operatorname{arcosh} x \, dx = x \operatorname{arcosh} x - \sqrt{x^2-1} + C$

$\int \operatorname{artanh} x \, dx = x \operatorname{artanh} x + \frac{1}{2}\log{(1-x^2)} + C$

$\int \operatorname{arcsch}\,x \, dx = x \operatorname{arcsch} x+ \log{\left[x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1\right)\right]} + C$

$\int \operatorname{arsech}\,x \, dx = x \operatorname{arsech} x- \arctan{\left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)} + C$

$\int \operatorname{arcoth} \, dx = x \operatorname{arcoth} x+ \frac{1}{2}\log{(x^2-1)} + C$

uswhatul hasanah

Sabtu, 02 April 2016

Integral dan Differensial

Pengertian Integral dan Differensial

Integral

Mencari nilai integral

Substitusi

Integrasi parsial

Substitusi trigonometri

Integrasi pecahan parsial

Rumus integrasi dasar

Umum

Bilangan natural

Logaritma

Trigonometri

$\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstan)}\,\!$ Aturan integrasi dari fungsi-fungsi umum

Integral dari fungsi-fungsi sederhana

Fungsi rasional

Fungsi irrasional

Logaritma

Fungsi eksponensial

Fungsi trigonometri

Fungsi hiperbolik

Fungsi inversi hiperbolik

0 komentar:

Posting Komentar

Mengenai Saya

Arsip Blog

Labels

Blog Archive

Blogger templates

Blogroll

Pages

About

uswhatul hasanah

Sabtu, 02 April 2016

Integral dan Differensial

Pengertian Integral dan Differensial

Integral

Mencari nilai integral

Substitusi

Integrasi parsial

Substitusi trigonometri

Integrasi pecahan parsial

Rumus integrasi dasar

Umum

Bilangan natural

Logaritma

Trigonometri

Aturan integrasi dari fungsi-fungsi umum

Integral dari fungsi-fungsi sederhana

Fungsi rasional

Fungsi irrasional

Logaritma

Fungsi eksponensial

Fungsi trigonometri

Fungsi hiperbolik

Fungsi inversi hiperbolik

0 komentar:

Posting Komentar

Social Profiles

Mengenai Saya

Arsip Blog

Labels

Blog Archive

Blogger templates

Blogroll

Pages

About

$\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ konstan)}\,\!$ Aturan integrasi dari fungsi-fungsi umum