Sistem Bilangan Real

Sistem Bilangan Real

Sebelum kita mempelajari kalkulus sebaiknya kita perlu memahami bahasan tentang system

bilangan real, karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifat sifatnya.

 

Sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli, yaitu 1, 2, 3, ...

Dengan menggunakan bilangan asli kita dapat menghitung banyaknya baju yang kita miliki, siswa yang ada di kelas, banyaknya barang yang di jual dan lain-lainnya. Himpunan semua bilangan asli biasa dinotasikan dengan N. 

Jadi

N = {1, 2, 3, 4, …}

Jika di dalam himpunan semua bilangan asli kita tambahkan semua negatifnya dan nol, maka diperoleh bilangan-bilangan bulat, yaitu …, –3, –2, –1, 

0, 1, 2, 3, … Himpunan semua bilangan bulat biasa disimbolkan dengan Z. 

Jadi

Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}

Selanjutnya untuk mengukur besaran-besaran seperti panjang, berat dan arus listrik maka bilangan bulat tidak memadai. Bilangan bulat tidak dapat memberikan ketelitian yang cukup sehingga untuk keperluan ini maka kita dapat menggunakan bilangan-bilangan rasional, seperti

2/3, -4/5, 1/3, dan lain lain.

Bilangan rasional

didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan a/b dengan a dan b keduanya bilangan bulat dan b ≠ 0. Dengan demikian bilangan-bilangan bulat termasuk bilangan rasional juga. 

Bilangan bulat 3 merupakan bilangan rasional

sebab 3 dapat ditulis sebagai 6/2 . 

Himpunan semua bilangan rasional biasa

dinotasikan dengan Q. 

Jadi

Q = {a/b| a ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0}

Bilangan rasional yang dapat menjadi ukuran dengan ketelitian yang cukup ternyata masih belum dapat menjadi ukuran semua besaran. misalnya panjang sisi miring segitiga siku-siku.

Dengan menggunakan bilangan irrasional maka hal tersebut di atas tidak menjadi masalah. Panjang sisi miring segitiga siku-siku tersebut adalah √2 bila sisi-sisinya memiliki panjang 1. 

Bilangan irrasional yang lain antara lain , e dan π.

Sekumpulan bilangan rasional dan irrasional beserta negatifnya dan nol adalah bilangan-bilangan real (bilangan nyata). Himpunan semua bilangan real dinotasikan dengan R.

Hubungan keempat himpunan N, Z, Q, dan R dapat dinyatakan dengan

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

dan digambarkan dengan diagram venn berikut.

Sifat-sifat Operasi Bilangan Real

Waktu SMP kita sudah mengenal operasi-operasi yang berlaku pada bilangan real berikut sifat-sifatnya, dan sekarang kita tengok kembali sifat-sifat yang berlaku pada bilangan real dengan operasi “penjumlahan” dan “perkalian”.

Untuk setiap , berlaku sifat-sifat berikut ;

Penjumlahan :

1. Sifat tertutup pada penjumlahan;

2. Sifat komutatif pada penjumlahan

3. Sifat asosiatif pada penjumlahan

4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

5. Sifat identitas pada penjumlahan (0 adalah elemen identitas atau elemen netral)

6. Sifat invers pada penjumlahan





Perkalian :

1. Sifat tertutup pada perkalian

 2. Sifat komutatif pada perkalian

3. Sifat asosiatif pada perkalian

4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
5. Sifat identitas pada perkalian (1 adalah elemen identitas perkalian)

6. Sifat invers pada perkalian tidak berlaku, sebab 0 tidak mempunyai invers.

(untuk )

(tidak ada/tidak didefinisikan).