Koordinat Kutub

 KOORDINAT KUTUB

Sistem koordinat kutub dalam suatu bidang terdiri dari satu titik tetap O yang disebut titik asal atau titik kutub dan sebuah garis berarah yang bermula dari titik asal tersebut, yang disebut dengan sumbu kutub. Dalam koordinat kutub, setiap titik P dinyatakan dalam pasangan (r, θ), di mana r adalah jarak titik P ke titik asal, dan θ adalah sudut dari sumbu kutub ke garis OP. Bilangan r disebut koordinat radial dan q disebut koordinat angular atau sudut kutub dari P. Sudut dinyatakan dalam angka positif jika diukur berlawanan jarum jam dan dinyatakan dengan angka negatif jika diukur searah jarum jam.

Beberapa contoh koordinat kutub:

Beberapa koordinat kutub ini menyatakan posisi titik yang sama:

Hubungan antara Koordinat Kutub dan Koordinat Cartesius

Hubungan antara koordinat kutub dan koordinat Cartesius dapat dilihat pada gambar berikut ini:
Untuk menyatakan koordinat Cartesius dalam koordinat kutub dapat digunakan rumus berikut:
Sedangkan untuk menyatakan koordinat kutub dalam koordinat Cartesius dapat digunakan rumus berikut:

Contoh 1:

Contoh 2:
Dapatkan koordinat Cartesius dari (3, –45°)
Jawab:

Sketsa Grafik dalam Koordinat Kutub

Suatu grafik dapat dinyatakan dalam sistem koordinat kutub. Untuk membuat sketsanya, akan lebih mudah jika menggunakan tabel untuk mencari nilai r untuk θ dari 0 hingga 2π radian.
Contoh:
Sketsalah grafik r = 4 sin 2θ
Tabel:

Sketsa: (setiap warna pada tabel diwakili oleh garis yang berwarna sama pada gambar)

Read More

Persamaan Garis Lurus

Garis lurus merupakan grafik suatu fungsi linier. Jika f adalah fungsi linier dengan rumus f(x) = ax + b, untuk a, b Є R, maka persamaan garfik fungsi f adalah y = ax + b. Jadi y = ax + b tiada lain dari pada persamaan suatu garis lurus. Perhatikan persamaan garis lurus y = ax + b, dengan a, b Є R, maka a disebut gradien/kecondongan garis/koefisien arah dari garis tersebut. Jika α adalah besar sudut antara garis tersebut dengan sumbu X (diukur berlawanan arah putaran jarum jam), maka berlaku tg α = a, dimana 0° ≤ α ≤ 180°. Sedangkan (0,b) adalah titik potong garis dengan sumbu Y.

Kadang-kadang persamaan garis lurus ditulis dalam bentuk implisit, seperti: Ax + By C = 0, dimana A dan B tidak sekaligus sama dengan nol.
Bentuk Ax + By + C = 0 dapat diubah menjadi y= – A/B x – C/B.
Bila kita bandingkan penulisannya dengan y = ax + b, maka a = -A/B dan b = -C/B untuk B ≠ 0

Suatu Garis Lurus dapat ditentukan oleh:
1. Satu titik pada garis itu dan koefisien arahnya.
Misalkan P(x1 , y1) adalah titik yang dilalui oleh garis p, sedangkan a adalah gradien garis p. Andaikan persamaan garis p adalah y = ax + b. Selanjutnya, karena titik P(x1 , y1) berada pada garis p, maka berlaku y1 = ax1 + b. Perhatikan sistem persamaan linier (SPL) berikut, kemudian eleminasi b:
y = ax + b
y = ax1 + b
———— –
(y – y1) = a(x – X1)
Jadi persamaan garis lurus p yang melalui titik P(x1 , y1) dengan gradien a adalah y – y1 = a(x – x1)

2. Dua titik yang tidak berimpit.

Misalkan P(x1 , y1) dan Q(x2 , y2) adalah dua titik pada garis g, dan andaikan
persaman garis lurus g adalah y = ax + b …….(I)
Karena P(x1 , y1) pada g, maka y1 = ax1 + b …….(II)
Karena Q(x2 , y2) pada g, maka y2 = ax2 + b …….(III)
Selanjutnya eleminir b dari (I) dan (II), serta dari (II) dan (III)
y = ax + b                                  dan                           y2 = ax2 + b
y1 = ax1 + b                                                                y1 = ax1 + b
————– –                                                                —————-   –
(y – y1) = a(x – x1)                                                   (y2 – y1) = a (x2 – x1)
a = (y – y1)/(x – X1)….(IV)                                   a = (y2 – y1)/(x2 – x1) ….(V)

Dari (IV) dan (V), diperoleh a = a, atau
(y – y1)/(x – x1) = (y2 – y1)/(x2 – x1) → (y – y1)/(y2 – y1) = (x – x1)/(x2 – x1)
Jadi persamaan garis lurus g yang melalui titik P(x1 , y1) dan Q(x2 , y2) adalah
(y – y1)/(y2 – y1) = (x – x1)/(x2 – x1) ……(VI)
Selanjutnya persamaan (VI) dapat ditulis menjadi
(y – y1) = {(y2 – y1)/(x2 – x1)} (x – x1) …….(VII)
Bentuk (y2 – y1)/(x2 – x1) pada persamaan VII merupakan gradien garis g yang melalui titik P dan Q tadi. Bila mPQ menyatakan gradien garis yang melalui titik P(x1 , y1) dan Q(x2 , y2), maka  mPQ = (y2 – y1)/(x2 – x1)

Contoh

1. Tentukan persamaan garis lurus g yang melalui titik P(-3,5) dengan gradien -2/3. Kemudian tulislah persamaan garis tersebut dalam bentuk implisit!

Jawab:
Persamaan garis g adalah
y – y1 = a(x – x1)
y – 5 = -2/3(x +3)
3(y – 5) = -2(x + 3)
2x + 3y = 9
Dalam bentuk implisit ditulis 2x + 3y – 9 = 0

2. Ditentukan titik P(-3,4) dan Q(-1,1). Tentukan gradien garis yang melalui titik P dan Q. Tulislah pula persamaan garis g yang melalui P dan Q!

Jawab:
Gardien garis g yang melalui P dan Q adalah:
mPQ = (y2 – y1)/(x2 – x1)
mPQ = (1 – 4)/(-1 + 3)
mPQ = -3/2
Persamaan garis g yang melalui titik P dan Q adalah
(y – y1)/(y2 – y1) = (x – x1)/(x2 – x1)
(y – 4)/(1 – 4) = (x + 3)/(-1 + 3)
2(y – 4) = -3(x + 3)
2y + 3x + 1 = 0

Read More

SISTEM KOORDINAT KARTESIUS TEGAK LURUS DAN PERSAMAAN GARIS LURUS

BAB I

SISTEM KOORDINAT KARTESIUS TEGAK LURUS

DAN PERSAMAAN GARIS LURUS

Pendahuluan

            Untuk menentukan posisi suatu titik pada suatu bidang datar diperlukan suatu patokan mula. Patokan mula ini dapat diambil dua garis lurus yang saling tegak lurus. Setiap titik pada bidang datar tertentu oleh jarak titik itu terhadap garis-garis tadi dan arahnya. Sistem seperti ini dinamakan sistem koordinat Kartesius tegak lurus.

            Penggunaan sistem ini akan mempermudah dan menyederhanakan permasalahan/konsep-konsep dalam aljabar dan geometri. Oleh karena itu penguasaan pada sistem koordinat ini merupakan dasar untuk mempelajari materi-materi Geometri Analitik berikutnya. Dalam buku ini pula disajikan persamaan garis lurus yang mendasarkan pada sistem koordinat Kartesius tegak lurus.

            Setelah mempelajari materi dalam buku ini diharapkan Anda memahami sistem koordinat Kartesius tegak lurus dan persamaan garis lurus pada sistem koordinat tersebut.

            Lebih khusus, setelah mempelajari buku ini Anda diharapkan dapat menentukan:

1.  letak suatu titik pada bidang Kartesius;

2.  jarak dua titik tertentu pada bidang koordinat Kartesius;

3. koordinat titik tengah suatu ruas garis yang koordinat titik-titik ujungnya diketahui;

4.  koordinat suatu titik pada suatu ruas garis yang koordinat titik-titik ujungnya tertentu dan perbandingan jarak titik itu terhadap titik-titik ujungnya diketahui;

5.  persamaan garis lurus yang sejajar dengan sumbu koordinat dan melalui titik tertentu;

6.  persamaan garis lurus yang melalui titik asal dan titik tertentu lainnya;

7.  kemiringan suatu garis lurus;

8.  persamaan garis lurus yang melalui dua titik yang diketahui;

9. persamaan garis lurus dengan kemiringan tertentu dan melalui suatu titik yang diketahui;

10. koordinat titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat dari suatu persamaan garis lurus yang diketahui;

11. menentukan persamaan normal suatu garis lurus;

12. mengubah persamaan garis lurus ke bentuk persamaan normal;

13. menentukan persamaan garis yang sejajar garis tertentu atau tegak lurus garis tertentu;

14. menggunakan persamaan berkas garis dalam menyelesaikan soal-soal yang berkenaan dengan lebih dari dua garis; dan

15. menentukan jarak suatu titik ke garis tertentu

Sistem Koordinat Kartesius Tegak Lurus

            Untuk menentukan letak suatu titik pada bidang datar diperlukan patokan awal, patokan awal ini dibuat dari dua garis bilangan riel yang berpotongan saling tegak lurus di titik nolnya, yang satu mendatar (horizontal) dan yang lain tegak (vertikal). Garis bilangan yang mendatar dinamakan sumbu X. Pada sumbu X, dari titik nol ke kanan disebut arah positif atau sumbu X positif. Sedangkan dari titik nol ke kiri dikatakan arah negatif atau sumbu X negatif. Garis bilangan yang tegak diberi nama sumbu Y. Pada sumbu Y, dari titik nol ke atas disebut arah positif atau sumbu Y positif, sedangkan dari titik nol ke bawah dikatakan arah negatif atau sumbu Y negatif. Dua sumbu yang saling tegak lurus ini dinamakan sumbu-sumbu sistem koordinat Kartesius tegak lurus atau cukup disebut sumbu-sumbu koordinat.

Biar lebih jelas, download disini yaa.. :) http://www.mediafire.com/view/buq152lhiauoxuk/ISI.doc

Read More