Postulat Kesejajaran Euclid

POSTULAT KESEJAJARAN EUCLID

Euclid adalah seorang ahli logika ternama telah menyatakan bahwa perubahan perkembangan teori geometri non Euclid dapat kontradiksi dengan postulat kesejajaran Euclid. Seiring dengan kepercayaan ahli matematika bahwa geometri non Euclid hanya memungkinkan untuk teori ruang dan yang menjelaskan segala sesuatunya secara fisik. Tetapi posisi unik geometri Euclid di abad 19 telah diserang oleh penemuan geometri non Euclid. Dan banyak ahli matematika sangat terguncang. Ide tentang kealamian geometrid an posisi unik geometri Euclid yang telah di lakukan sepanjang dua ribu tahunan, akhirnya runtuh pada decade 1820-1830.
Awal abad 19 ahli matematika yang berkompeten berhasil diyakinkan bahwa masalahnya tentang postulat telah diselesaikan dan hanya sedikit memiliki kekurangan dalam pembuktiannya. Kegagalan setiap percobaan dalam membuktikan postulat kesejajaran tersebut membawa pada perngakuan bahwa postulat kesejajaran tidaklah pasti. Dan bahwa teori geometri lainnya (non Euclid )bias saja digunakan. Selanjutnya dalam bab ini akan dijelaskan 3 upaya penting dalam membuktikan postulat kesejajaran Euclid.
1. Struktur Geometri Bidang Euclid
Postulat sejajar Euclid dapat dinyatakan sebagai berikut :
“ Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sedemikian hingga jumlah dua sudut interiornya (sudut dalam) pada satu sisi transversal adalah kurang dari 180°. Garis tersebut akan bertemu pada satu sisi transversal tersebut”
Sejumlah asumsi/postulat untuk geometri bidang Euclid , yaitu :
1. Sesuatu akan sama dengan sesuatu atau sesuatu yang sama akan sama satu sama yang lainnya
2. Jika kesamaan di tambahkan dengan kesamaan maka jumlahnya akan sama
3. Jika kesamaan di kurangi dengan kesamaan maka selisihnya akan sama
4. Keseluruhan akan lebih besar dari bagiannya
5. Bangun geometric dapat dipindahkan tanpa mengubah ukuran atau bentuknya
6. Setiap sudut memiliki bisector ( garis bagi )
7. Setiap segmen memiliki titik tengah
8. Dua titik hanya berada pada satu-satunya garis
9. Sembarang segmen dapat diperluas oleh suatu segmen yang sama dengan segmen yang diberikan
10. Lingkaran dapat di gambarkan dengan sembarang titik pusat dan radius yang diketahui
11. Semua sudut siku-siku sama besar
Dari postulat-postulat ini, dapat di deduksi sejumlah teorema dasar diantaranya :
1. Sudut bertolak belakang sama besar
Bukti 1 :
1.Lukis garis l dan m sejajar
2.Garis transversal h memotong tegak lurus l dan m di P dan Q
3. P = Q (postulat ke 11)
4. P = 1 (postulat ke 11)
5. P dan 1 dua sudut bertolak belakang, jadi sudut bertolak belakang sama besar (terbukti)

Bukti 2 :
1. Ada B sehingga B € g
2. Ada C sehingga C € g
3. Analog untuk D dan E € l
4. BAD + BAE = 180° (Postulat garis pelurus)
CAE + BAE = 180°
5. ( BAD + BAE ) – ( CAE + BAE ) =180° – 180° (postulat 3)
BAD – CAE = 0
BAD = CAE
(terbukti sudut bertolak belakang sama besar)

2. Sifat kongruensi segitiga (SAS, ASA, SSS)
Bukti : Sifat kongruensi segitiga (ASA )

1. Lukis ΔABC dan ΔPQR sehingga A= P
B = Q dan AB = PQ
2. Pindahkan Δ ABC pada Δ PQR sehingga A
berimpit dengan P, B berimpit Q dan AB
berimpit pada PQ maka C berimpit pada R
dan C = R ( postulat 5)

3. Teorema kesamaan sudut alas segitiga sama kaki dan konversinya
Bukti :

Diberikan Δ ABC dgn AC = BC, akdib
A = B
1.Lukis garis bagi C (aksioma 6)
2.Perpanjang garis bagi tersebut hingga memotong AB di D (aksioma 9)
3.Dalam Δ ACD dan Δ BCD, AC=BC, 1= 2 (aksioma 6), CD=CD (berimpit), sehingga Δ ACD kongruen dengan Δ BCD (S-A-S)
4.Jadi A = B (sudut yang berkoresponden sama besar) (terbukti )
Dan sebaliknya jika diberikan Δ ABC dengan A = B maka AC = BC
Bukti :
1. Lukis garis bagi C sehingga 1 = 2 (aksioma 6)
2. Karena A = B dan 1 = 2 maka ADC = BDC
3. Δ ADC kongruen dengan Δ BDC sehingga AC = BC (terbukti)

4. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis pada titik dari garis tersebut
5. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis yang melalui titik eksternal
6. Pembentukan suatu sudut yang sama, dengan sudut, dengan titik sudut dan sisi yang telah diberikan sebelumnya
7. Pembentukan segitiga yang kongruen dengan segitiga dengan sisi yang sama pada sisi segitiga yang di ketahui

TEOREMA 1 : Teorema Sudut Eksterior (luar)
Sudut eksterior segitiga akan lebih besar daripada sudut interior (dalam) terpencil (berjauhan) manapun.

Bukti :
ABC = Segitiga sembarang
D = Perpanjangan AB melalui B
Akdib : ACB < CBD
Bukti :
1. E pada BC sehingga BE = EC
( aksioma 7 )
2. F pada perpanjangan AE shg AE = EF (aksioma 7)
3. AEC = FEB (bertolak belakang) ( postulat 1 )
Jadi Δ AEC kongruen dengan Δ FEB
( SAS )
ACE = FBE
FBE < EBD
ACE < EBD
Jadi ACB < CBD terbukti

TEOREMA 2 :
Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sehingga membentuk pasangan sudut interior dalam berseberangan maka garis tersebut sejajar.

BUKTI :

1. Diberikan garis l dan m
2. Garis transversal h memotong l dan m di A dan B sehingga membentuk pasangan sudut interior dalam berseberangan yaitu 1 dan 2 yang sama besar

3. Misal l dan m tidak sejajar berarti akan bertemu di C dan terbentuk Δ ABC (hipotesis)
4. C terletak di depan sisi AB
5. 1 AQP
5. APR = AQP (Aksioma 11, sudut siku-siku sama besar)
6. Jadi l = m
Kesimpulan : Ada tepat satu l sehingga l tegak lurus g , A € l , A € g ( terbukti ).

Corollary 3 : ( Eksistensi garis sejajar )
Jika titik P tidak berada pada garis l maka akan ada setidaknya satu garis yang melalui P yang sejajar dengan l

Bukti :
1. Lukis garis l
2. Titik P di luar garis l
3. Lukis garis dari P yang tegak lurus l dan memotong l di Q
4. Melalui titik P lukis garis m yang tegak lurus PQ
5. m sejajar l ( corollary 1 )

TEOREMA 3
Jumlah dua sudut pada segitiga kurang dari 180°

BUKTI :

ABC = segitiga sembarang
Akdib : B + C ACB (teorema 1)

CBD > ACB dan CBD = 180° – CBA
180° – CBA > ACB
180° > CBA + ACB
Atau 180° > B + C
B + C < 180 ° ( TERBUKTI)

Ekivalensi Postulat Euclid Dan Playfair

Postulat Euclid :
“ Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sedemikian hingga jumlah dua sudut interiornya (sudut dalam) pada satu sisi transversal adalah kurang dari 180°. Garis tersebut akan bertemu pada satu sisi transversal tersebut”
Postulat Playfair :
“ Hanya ada satu garis sejajar pada garis yang melalui titik bukan pada garis tersebut”
Mengasumsikan postulat sejajar Euclid kita deduksi postulat Playfair
1.Diberikan garis l dan titik P bukan pada l
2.Akan ada garis melalui P sejajar l (corollary 3), misal m
3.Dari P ditarik garis tegak lurus l dengan kaki Q
4. Lukis garis n melalui P (n≠m)
5. Jika 1 adalah siku-siku maka n berimpit dengan m (berlawanan dengan asumsi) maka 1 = lancip
Jadi 1 + Q < 180°

Mengasumsikan postulat Playfair kita deduksi postulat sejajar Euclid
1. Diberikan garis l dan m
2. l dan m di potong oleh garis transversal h di P dan Q sehingga membentuk sudut interior 1 dan 2
1 + 2 < 180° (postulat Euclid)
1 + 3 = 180° jadi 2 2 sehingga RP ≠ m

Read More

Segitiga-segitiga yang Kongruen

Pengertian Segitiga yang Kongruen

Coba kalian amati dengan baik gambar berikut ini:

Pada gambar tersebut terlihat susunan dari banyak segitiga yang saling berhimpitan. Apabila kita melakukan pergeseran ataupun pemutaran pada salah satu segitiga yang ada di dalam gambar tersebut maka segitiga tersebut akan menempati posisi segitiga yang lain dengan tepat. Keadaan tersebut menunjukkan bahwa segitiga yang satu dengan segitiga yang lain memiliki bentuk yang sama (sebangun) dan memiliki ukuran yang sama. Nah, segitiga-segitiga yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama tersebutlah yang dapat kita sebut sebagai segitiga-segitiga yang kongruen (sama dan sebangun)

Sifat-sifat Dua Segitiga yang Kongruen

Untuk bisa memahami sifat-sifat dari dua segitiga yang kongruen kalian harus memperhatikan gambar berikut ini:

Karena segitiga-segitiga yang kongruen memiliki bentuk dan ukuran yang sama, maka masing-masing segitiga tersebut apabila diimpitkan akan saling menutupi dengan tepat satu sama lainnya.

Gambar di atas menunjukkan bahwa segitiga PQT dan segitiga QRS kongruen. Perhatikanlah panjang sisi-sisinya. Terlihat bahwa PQ = QT, QT = RS, dan QS = PT sehingga sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga tersebut sama panjang.

Selanjutnya, perhatikanlah besar sudut dari kedua segitiga tersebut. Tampak terlihat bahwa sudut TPQ = sudut SQR, sudut PQT = QRS, sudut PTQ = sudut QSR sehingga sudut-sudut yang ada pada kedua segitiga tersebut sama besarnya.

Dari uraian tersebut kita dapat menyimpulkan bahwa dua buah segitiga dapat dikatakan kongruen apabila memenuhi sifat-sifat berikut ini:

1. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.

2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Syarat Dua Segitiga Kongruen

Dua segitiga dapat dikatakan kongruen apabila memenuhi salah satu dari tiga syarat yang ada di bawah ini:

A. Ketiga pasang sisi yang bersesuaian sama panjang (sisi, sisi, sisi)

Dua segitiga di bawah ini, yaitu ∆ABC dan ∆DEF memiliki panjang sisi yang sama.

AB = DE maka AB/DE = 1

BC = EF maka BC/EF = 1

AC = DF maka AC/DF = 1

Sehingga diperoleh AB/DE = BC/EF = AC/DF = 1

Perbandingan nilai yang sesuai untuk tiap-tiap sisi yang bersesuaian menunjukkan bahwa kedua segitiga tersebut sebangun. Karena sebangun, maka sudut-sudut yang dihasilkan pun akan menjadi sama besar, yaitu:

Sudut A = sudut D, sudut B = sudut E, sudut C = sudut F

Karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka dapat disimpulkan bahwa ∆ABC dan ∆DEF kongruen.

B. Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut yang dibentuk oleh kedua sisi tersebut sama besar (sisi, sudut, sisi)

Pada gambar di atas diketahui bahwa AB = DE, AC = DF, dan sudut CAB = sudut EDF. Lalu, apakah kedua segitiga tersebut kongruen? Jika dua segitiga tersebut diimpitkan akan tepat berimpitan, sehingga diperoleh:

AB/DE = BC/EF = AC/DF = 1

Hal ini berarti segitiga ABC dan segitiga DEF sebangun sehingga diperoleh:

Sudut A = sudut D, sudut B = sudut E, sudut C = sudut F

Karena sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, maka dapat kita simpulkan bahwa ∆ABC dan ∆DEF tersebut kongruen.

C. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan sisi yang menghubungkan kedua titik sudut itu sama panjang (sudut, sisi, sudut)

Pada gambar di atas segitiga ABC dan DEF memiliki sepasang sisi bersesuaian yang sama panjang dan dua sudut bersesuaian yang sama besar, yaitu AB = DE, sudut A = sudut D, dan sudut B = sudut E. Karena sudut A = sudut D, dan sudut B = sudut E maka sudut C = sudut F. Jadi ∆ABC dan ∆DEF bersifat sebangun dan memiliki perbandingan yang senilai, yaitu:

AB/DE = BC/EF = AC/DF

Karena AD/BE = 1 maka BC/EF = AC/DF = 1

AC = DF dan BC = EF dengan demikian sudah bisa dipastikan bahwa kedua segitiga tersebut kongruen.

Demikianlah penjelasan yang cukup panjang mengenai Segitiga-Segitiga Yang Kongruen. Semoga tulisan ini dapat membantu kalian dalam memahami pengertian, sifat, serta syarat-syarat dari segitiga-segitiga yang kongruen.

Read More

Segitiga-segitiga yang Sebangun

Syarat Segitiga-Segitiga yang Sebangun

Coba kalian amati dengan baik kedua gambar segitiga di bawah ini:

Pada segitiga ABC dan DEF di atas, perbandingan antara sisi-sisi yang bersesuaian pada kedua segitiga tersebut dapat diuraikan menjadi sebagai berikut:

DE/AB= 4/8 = 1/2

EF/BC = 3/6 = 1/2

DF/AC = 5/10 = 1/2

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa AB/DE = BC/EF = AC/DF = 1/2

Apabila kalian melakukan pengukuran pada sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua segitiga tersebut maka kalian akan menemukan bahwa sudut A = sudut D, sudut B = sudut E, dan sudut C = sudut F.

Jadi, kesebangunan dari dua buah segitiga dapat kita ketahui dengan mencari atau membuktikan bahwa perbandingan antara panjang sisi-sisi yang bersesuaian memiliki nilai yang sama.

Sekarang coba perhatikan gambar segitiga siku-siku yang ada di bawah ini:

Pada segitiga siku-siku ABC dan DEF di atas, kita dapat melihat bahwa sudut A = sudut D yaitu 90⁰

Sedangkan sudut B = sudut E yaitu 60⁰. Oleh karenanya, kita dapat menghitung sudut C dan sudut F dengan melakukan perhitungan:

Sudut C = sudut F = 180⁰ – 90⁰ - 60⁰ = 30⁰

Jika kalian melakukan pengukuran terhadap panjang sisi-sisi yang ada pada kedua segitiga tersebut, maka hasil perbandingannya akan menjadi:

AB/DE = BC/EF = AC/DF

Karena pada segitiga siku-siku ABC dan DEF panjang sisi-sisi yang bersesuaian memiliki nilai yang sama dan sudut-sudut yang bersesuaiannya juga memiliki ukuran yang sama besar maka dapat disimpulkan bahwa segitiga ABC sebangun dengan segitiga DEF.

Maka, dapat kita simpulkan bahwa kesebangunan dari dua buah segitiga dapat diketahui dengan cara menunjukkan bahwa sudut-sudut yang bersesuaian diantara dua buah segitiga tersebut memiliki nilai yang sama besar. Sehingga, syarat agar dua buah segitiga dapat dikatakan sebangun adalah:

1. Perbandingan panjang sisi yang bersesuaian senilai

2. Dua pasang sudut yang bersesuaian sama besar.

Demikianlah penjelasan materi tentang Segitiga-segitiga yang Sebangun  dan syarat-syarat yang harus dipenuhi agar dua buah segitiga dapat dikatakan sebangun.

Read More