Integral Trigonometri

Integral trigonometri merupakan integral yang menggunakan fungsi-fungsi trigonometri.

Berikut ini adalah rumus-rumus inetgral trigonometri :

∫ cos x dx = sin x + c
∫ sin x dx = -cos x + c
∫ sec² x = tan x + c
∫ csc² x = -cot x + c
∫sec x tan x = sec x + c
∫ csc x cot x = – csc x + c

Selanjutnya rumus-rumus yang ada bisa diperluas menjadi :

∫ cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c
∫ sin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) + c
∫ sec² (ax + b) =  1/a tan (ax + b) + c
∫ csc² (ax + b) = – 1/a cot (ax + b) + c
∫sec (ax + b) tan (ax + b) = 1/a sec (ax + b) + c
∫ csc (ax + b) cot (ax + b) = – 1/a csc (ax + b) + c

Biar lebih mudah langsung ke contoh soal saja ya :-)

Contoh 1

∫(cos 7x + sin 5x) dx = ….
Jawab :
∫(cos 7x + sin 5x) dx = 1/7 cos 7x – 1/5 cos 5x + c

Contoh 2

∫(x – 1) sin (x² – 2x + 5) dx = …
Jawab :
misal
y = x² – 2x + 5
dy/dx = 2x – 2
dx = dy/(2x – 2) = 1/2 dy/(x – 1)
Jadi,
∫(x – 1) sin (x² – 2x + 5) dx
= ∫(x – 1) sin y 1/2 dy/ (x -1)
= ∫ 1/2 sin y dy
= – 1/2 cos y + c
= – 1/2 cos (x² – 2x + 5) + c

Contoh 3

∫ (x² – 4x) cos (x³ – 6x² + 7) dx = …
Jawab :
misal y = x³ – 6x² + 7
maka dy/dx = 3x² – 12x
sehingga dx = dy/(3x² – 12x)
atau  dx = 1/3 dy/(x² – 4x)
Jadi
∫ (x² – 4x) cos (x³ – 6x² + 7) dx
= ∫ (x² – 4x) cos y 1/3 dy/(x² – 4x)
= 1/3 ∫ cos y dy
= 1/3 sin y + c
= 1/3 sin (x³ – 6x² + 7) + c

Sebelum kita lanjutkan ke contoh berikutnya, ingat baik-baik rumus-rumus trigonometri berikut :

2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)
2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)
-2 sin A sin B = cos (A + B) – cos (A – B)

Contoh 4

∫ 2 cos 7x cos 2x dx = ….
Jawab :
∫ 2 cos 7x cos 2x dx
= ∫ cos 9x + cos 5x dx
= 1/9 sin 9x + 1/5 sin 5x + c

Contoh 5

∫ sin 5x cos 3x dx = …
Jawab :
∫ sin 5x cos 3x dx

= 1/2 ∫ (sin 8x + sin 2x) dx
= 1/2 ( – 1/8 cos 8x – 1/2 cos 2x) + c
= – 1/16 cos 8x – 1/4 cos 2x + c

Contoh 6

∫ sin 6x sin 3x dx = …
Jawab :
∫ sin 6x sin x dx
= – 1/2 ∫ (cos 7x – cos 5x) dx
= – 1/2 ( 1/7 sin 7x – 1/5 sin 5x) + c
= – 1/14 sin 7x + 1/10 sin 5x + c

Ingat juga rumus-rumus berikut
sin² x = 1/2 – 1/2 cos 2x
cos² x = 1/2 + 1/2 cos 2x

Contoh 7

∫ cos² x dx =  …
Jawab :
∫ cos² x dx
=  ∫ ( 1/2 + 1/2 cos 2x) dx
= 1/2 x + 1/4 sin 2x + c

Contoh 8

∫sin² x dx = …
Jawab :
∫sin² x dx
=  ∫ ( 1/2 – 1/2 cos 2x) dx
= 1/2 x – 1/4 sin 2x + c

Contoh 9

∫ cos² 3x dx
Jawab :
∫ cos² 3x dx
=  ∫ ( 1/2 + 1/2 cos 6x) dx
= 1/2 x + 1/14 sin 2x + c

Contoh 10

∫sin² 7x dx
Jawab :
∫ sin² 7x dx
=  ∫ ( 1/2 – 1/2 cos 14x) dx
= 1/2 x + 1/28 sin 14x + c

Contoh 11

∫ cos⁴ x dx
Jawab :
∫ cos⁴ x dx
=∫ (cos² x)² dx
= ∫ (1/2 + 1/2 cos 2x)² dx
= ∫ (1/4 + 1/2 cos 2x + 1/4 cos² 2x) dx
= ∫ (1/4 + 1/2 cos 2x + 1/4 (1/2 + 1/2 cos 4x)) dx
= ∫ (1/4 + 1/2 cos 2x + 1/8 + 1/8 cos 4x) dx
= ∫ (3/8 + 1/2 cos 2x + 1/8 cos 4x) dx
= 3/8 x + 1/4 sin 2x + 1/32 sin 4x + c

Contoh 12

∫sin⁴ x dx = …
Jawab :
∫sin⁴ x dx
=∫ (sin² x)² dx
= ∫ (1/2 – 1/2 cos 2x)² dx
= ∫ (1/4 – 1/2 cos 2x + 1/4 cos² 2x) dx
= ∫ (1/4 – 1/2 cos 2x + 1/4 (1/2 + 1/2 cos 4x)) dx
= ∫ (1/4 – 1/2 cos 2x + 1/8 + 1/8 cos 4x) dx
= ∫ (3/8 – 1/2 cos 2x + 1/8 cos 4x) dx
= 3/8 x – 1/4 sin 2x + 1/32 sin 4x + c

Read More

Turunan Suatu Fungsi

Limit dapat digunakan untuk menentukan gradien dari suatu kurva. Selain itu, limit juga digunakan untuk mendefinisikan salah satu operasi yang fundamental pada kalkulus, yaitu turunan.

Definisi Turunan Suatu Fungsi
Turunan fungsi f pada x didefinisikan sebagai

apabila limitnya ada. Untuk setiap x sedemikian sehingga limitnya ada, f ’ adalah fungsi terhadap x.

Yang patut dicatat adalah turunan dari suatu fungsi juga merupakan fungsi terhadap x. Fungsi “baru” ini memberikan gradien dari garis singgung terhadap grafik f di titik (c, f(c)), asalkan grafik fungsi tersebut memiliki garis singgung di titik (c, f(c)).

Proses untuk menentukan turunan dari suatu fungsi disebut penurunan. Suatu fungsi terturunkan di x jika turunannya ada di x, dan terturunkan di selang buka (a, b) jika fungsi tersebut terturunkan di setiap titik dalam selang.

Sebagai tambahan, selain f ’(x), notasi lain juga dapat digunakan untuk menyatakan turunan dari y = f(x). Notasi yang sering digunakan adalah

Notasi dy/dx dibaca “turunan y terhadap x” atau “dy, dx”. Dengan menggunakan notasi limit, kita dapat menuliskan

Contoh 1: Menemukan Turunan dengan Proses Limit

Tentukan turunan dari f(x) = 2x³ – 3x.

Pembahasan

Ingat bahwa turunan dari suatu fungsi juga merupakan fungsi, yang dapat digunakan untuk menentukan gradien garis singgung grafik f di titik (c, f(c)).

Tips: Ketika menggunakan definisi untuk menurunkan fungsi, kuncinya adalah memanipulasi persamaan sebelah kanan sehingga penyebutnya tidak memiliki faktor Δx.

Contoh 2: Menggunakan Turunan untuk Menentukan Gradien di Suatu Titik

Tentukan f ’(x) untuk f(x) = √x. Kemudian tentukan gradien grafik pada titik (1, 1) dan (4, 2). Jelaskan perilaku f di titik (0, 0).

Pembahasan

Langkah pertama yang harus dilakukan adalah merasionalkan pembilang.

Pada titik (1, 1), gradiennya adalah f ’(1) = 1/2. Pada titik (4, 2), gradiennya adalah f ’(4) = 1/4. Perhatikan gambar di bawah ini. Pada titik (0, 0), gradiennya tidak terdefinisi. Akan tetapi, grafik f memiliki garis singgung berupa garis vertikal pada titik (0, 0).

Di beberapa kasus, penggunaan variabel x bisa digantikan oleh variabel lainnya. Hal ini seperti yang ditunjukkan oleh contoh 3 berikut.
Contoh 3: Menentukan Turunan dari Suatu Fungsi
Tentukan turunan terhadap t dari fungsi y = 7/t.
Pembahasan
Misalkan y = f(t), kita mendapatkan

Semoga bermanfaat ya sob :)

Read More

Sistem Bilangan Real

Sistem Bilangan Real

Sebelum kita mempelajari kalkulus sebaiknya kita perlu memahami bahasan tentang system

bilangan real, karena kalkulus didasarkan pada system bilangan real dan sifat sifatnya.

 

Sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli, yaitu 1, 2, 3, ...

Dengan menggunakan bilangan asli kita dapat menghitung banyaknya baju yang kita miliki, siswa yang ada di kelas, banyaknya barang yang di jual dan lain-lainnya. Himpunan semua bilangan asli biasa dinotasikan dengan N. 

Jadi

N = {1, 2, 3, 4, …}

Jika di dalam himpunan semua bilangan asli kita tambahkan semua negatifnya dan nol, maka diperoleh bilangan-bilangan bulat, yaitu …, –3, –2, –1, 

0, 1, 2, 3, … Himpunan semua bilangan bulat biasa disimbolkan dengan Z. 

Jadi

Z = {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …}

Selanjutnya untuk mengukur besaran-besaran seperti panjang, berat dan arus listrik maka bilangan bulat tidak memadai. Bilangan bulat tidak dapat memberikan ketelitian yang cukup sehingga untuk keperluan ini maka kita dapat menggunakan bilangan-bilangan rasional, seperti

2/3, -4/5, 1/3, dan lain lain.

Bilangan rasional

didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan a/b dengan a dan b keduanya bilangan bulat dan b ≠ 0. Dengan demikian bilangan-bilangan bulat termasuk bilangan rasional juga. 

Bilangan bulat 3 merupakan bilangan rasional

sebab 3 dapat ditulis sebagai 6/2 . 

Himpunan semua bilangan rasional biasa

dinotasikan dengan Q. 

Jadi

Q = {a/b| a ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0}

Bilangan rasional yang dapat menjadi ukuran dengan ketelitian yang cukup ternyata masih belum dapat menjadi ukuran semua besaran. misalnya panjang sisi miring segitiga siku-siku.

Dengan menggunakan bilangan irrasional maka hal tersebut di atas tidak menjadi masalah. Panjang sisi miring segitiga siku-siku tersebut adalah √2 bila sisi-sisinya memiliki panjang 1. 

Bilangan irrasional yang lain antara lain , e dan π.

Sekumpulan bilangan rasional dan irrasional beserta negatifnya dan nol adalah bilangan-bilangan real (bilangan nyata). Himpunan semua bilangan real dinotasikan dengan R.

Hubungan keempat himpunan N, Z, Q, dan R dapat dinyatakan dengan

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

dan digambarkan dengan diagram venn berikut.

Sifat-sifat Operasi Bilangan Real

Waktu SMP kita sudah mengenal operasi-operasi yang berlaku pada bilangan real berikut sifat-sifatnya, dan sekarang kita tengok kembali sifat-sifat yang berlaku pada bilangan real dengan operasi “penjumlahan” dan “perkalian”.

Untuk setiap , berlaku sifat-sifat berikut ;

Penjumlahan :

1. Sifat tertutup pada penjumlahan;

2. Sifat komutatif pada penjumlahan

3. Sifat asosiatif pada penjumlahan

4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

5. Sifat identitas pada penjumlahan (0 adalah elemen identitas atau elemen netral)

6. Sifat invers pada penjumlahan





Perkalian :

1. Sifat tertutup pada perkalian

 2. Sifat komutatif pada perkalian

3. Sifat asosiatif pada perkalian

4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
5. Sifat identitas pada perkalian (1 adalah elemen identitas perkalian)

6. Sifat invers pada perkalian tidak berlaku, sebab 0 tidak mempunyai invers.

(untuk )

(tidak ada/tidak didefinisikan).

Read More