Teori Hilbert

DAVID HILBERT (1862-1943)

A.   BIOGRAFI

David Hilbert lahir pada 23 Januari 1862 di Konigsberg, Prusia, sekarang Kaliningrad, Rusia. Ayahnya, Otto Hilbert, adalah seorang hakim kota, posisi yang sangat terhormat di sebuah kota kecil. Constance Hilbert Reid menunjukkan bahwa pengaruh terbesar datang dari ibunya Maria, “seorang wanita biasa… tertarik pada filsafat dan astronomi dan terpesona dengan bilangan prima.” Sebagai seorang anak muda, Hilbert dengan cepat menemukan bahwa matematika sangat mudah datang kepadanya. Sejak ia menuntut ilmu di gymnasium daerah ditempat asalnya yang menekankan pada bahasa, terutama bahasa Latin, atas matematika dan ilmu pengetahuan, waktu itu dia mengesampingkan cintanya kepada matematika sementara dan memusatkan perhatian pada mata pelajaran yang lebih lemah, kemudian dia sadar dan bersumpah untuk kembali ke matematika secepat mungkin.

Ia belajar di universitas di Konigsberg, belajar di bawah Heinrich Weber, satu satunya profesor matematika di Konigsberg. Dia pernah mengunjungi universitas di Heidelberg selama satu semester untuk mendengar ceramah tentang persamaan diferensial oleh Leornard Fuchs. Pada tahun 1882, Hermann Minkowski, seorang rekan mahasiswa di Konigsberg, memenangkan Grand Prix bergengsi des Sciences Mathmatiques dari Akademi Paris pada usia 17 .Mendengar prestasi ini belum pernah terjadi sebelumnya, Hilbert menjadi malu dengan temanya Minkowski. Pada tahun 1884, Adolf Hurwitz menjadi Extraordinariusy, atau asisten profesor, di Konigsberg. Mereka mengembangkan kebiasaan mengambil jalan-jalan harian “ke pohon apel … tepatnya pukul lima” untuk membahas filsafat, sastra, perempuan, dan, di atas segalanya, matematika. Ketiga orang ini telah membentuk sebuah persahabatan yang akan berlangsung sampai akhir hayat mereka. Persahabatan ini adalah faktor paling penting bagi perkembangan matematika Hilbert.

Tahun berikutnya, 1886 hilbert menjadi staf pengajar di Konigsberg sampai tahun 1895, diangkat sebagai dosen utama sampai tahun 1892, dan di angkat menjadi asisten professor sebelum menjadi professor penuh pada tahun 1893. Pimpinan Konigsberg pada saat itu adalah Heinrich Weber yang sangat dikenal karena menghadirkan untuk pertama kalinya defenisi–defenisi abstrak untuk himpunan pada bidang periode 1880- 1890, juga yang mengarang tiga buku teks aljabar. Hilbert juga sering melakukan perjalanan ke mancanegara guna menghadiri kongres matematikawan yang menjadi ciri khas pada abad itu.

B.   SUKSESI

            Tahun 1892, Schward pindah dari Gottingen ke Berlin untuk menggantikan posisi Weierstrass dan Klein memberi penawaran kepada Hilbert untuk mengisi jabatan yang kosong di Gottingen itu kepada Hilbert. Klein gagal membujuk Hilbert dan posisi itu diisi oleh Heinrich Weber yang pindah dari Konigsberg. Posisi Weber, pada tahun 1883, diganti oleh Lindemann yang belum lama menerbitkan pembuktian bahwa Л adalah bilangan transenden. Lindemann pula yang menyarankan agar thesis Hilbert tentang teori invarian dan mendukung agar topik ini terus dipelajari.

            Weber hanya menjabat selama tiga tahun sebelum pindah ke Strasbourg dan, akhirnya, posisi itu diisi oleh Hilbert. Sejak tahun 1895, Hilbert menduduki posisi kepala bidang matematika di Gottingen.

            Ketenaran Hilbert dalam dunia matematika baru bersinar setalah tahun 1900 sehingga banyak institusi-institusi pendidikan berusaha menariknya dari Gottingen, sebelum untuk akhirnya pindah ke universitas Berlin pada tahun 1902 untuk menggantikan posisi Fuchs. Penggantinya di Gottingen adalah temannya, Hermann Minkowski.

C.   TEORI INVARIAN HILBERT

            Karya pertama Hilbert adalah teori invarian pada tahun 1888, dimana dia dapat membuktikan theorema basis yang tersohor. Pembuktian ini dikirimkan sebagai artikel pada Mathematische Annalen. [Paul] Gordan adalah profesor matematika di Erlangen sekaligus pakar dalam teori invarian, namun cara dan metode Hilbert yang revolusioner ini sulit dipahami sehingga perlu pihak ketiga yang menilai. Juri yang ditunjuk adalah Klein. Lewat teman akrabnya, Hurwitz, Hilbert mengetahui bahwa Gordan mengirim surat Klein guna membicarakan artikel tersebut. Mengetahui hal ini Hilbert menulis surat kepada Klein yang isinya menyatakan bahwa dia tidak akan melakukan perubahan pada artikel yang sudah dikirim. Klein menerima dua surat dari Hilbert dan Gordan, dimana saat itu Hilbert adalah asisten pengajar dari Gordan yang sangat terkenal di dunia karena teori invarian. Sisi lain Gordan juga mengetahui hubungan antara Klein dan Hilbert yang sudah terjalin lama. Akhirnya, Klein mengemukakan terobosan invarian dari Hilbert ini dan berjanji akan menerbitkan sebagai artikel pada Annalen, tanpa perubahan sedikitpun.

            Merasa bahwa karyanya dihargai, Hilbert mengembangkan metode lain dalam teori invarian untuk kembali diterbitkan dalam Mathematische Annelen dimana sebelumnya dikirim kepada Klein. Komentar dari Klein adalah: “Tidak perlu diragukan lagi, bahwa makalah ini adalah karya maha penting dalam bidang aljabar umum yang pernah diterbitkan oleh Annalen.”

            Sistimatika invarian Hilbert secara singkat dapat disebutkan sebagai berikut. Misalkan bentuk x dengan pangkat n, untuk menemukan bilangan terkecil dari invarian dan covarian rasional integral dapat dinyatakan sebagai bentuk rasional integral dengan koefisien-koefisien numerikal dari himpunan lengkap.

D.   KARYA HILBERT

            Saat masih di Konigsberg, tahun 1893, Hilbert mengarang Zahlbericht untuk teori bilangan aljabarik. Komunitas matematika Jerman (German Mathematical Society) yang baru didirikan tiga tahun sebelumnya mendaulat agar karya ini dianggap sebagai laporan hasil perkembangan dari komunitas ini selama tiga tahun. Isi pokok buku ini adalah sistesis dari karya Kummer, Kronecker dan Dedekind namun dirangkai dan diisi dengan gagasan-gagasan Hilbert yang cemerlang. Semua gagasan ini sekarang lebih dikenal dengan sebutan teori bidang kelas (Class field theory).

            Karya penting Hilbert adalah makalah “On the Theory of Algebraic Forms” yang dimuat pada Mathematische Annalen pada tahun 1890. Di sini Hilbert mendifisnikan bentuk aljabarik sebagai fungsi homogen integral rasional dalam peubah-peubah tertentu dimana koefisien-koefisien adalah bilangan-bilangan dalam “wilayah rasionalitas” (domain of rationality). Theorema yang menyatakan bahwa untuk deret tak-terhingga S = F1, F2, F3, … dari bentuk-bentuk peubah-peubah n, x1, x2, x3, … xn terdapat bilngan m dalam bentuk berurutan yang diekspresikan sebagai

F = A1F1 + A2F2 + … AmFm

            Dimana Ai adalah bentuk-bentuk yang sama dengan peubah-peubah n. Hilbert mengaplikasikan hasil ini untuk membuktikan sistem terbatas untuk invarian dengan bentuk-bentuk arbitrari banyak peubah.

            Tidak puas dengan teori invarian, Hilbert menjelajahi geometri. Geometri rekaan Hilbert dapat disebut sebagai sebuah karya besar setelah Euclid sendiri. Dari pembelajaran secara sistematik dari geometri Euclidian, Hilbert merumuskan dua puluh satu aksioma dan melakukan analisis terhadap masing-masing signifikansinya. Karya dalam geometri dituang dalam buku berjudul Grundlagen der geometrie pada tahun 1899, di mana geometri ditempatkan dalam tatanan aksioma yang formal. Buku ini terus diperbaharui dalam setiap edisinya dan kelak memberi dampak besar bagi pendekatan aksiomatik dalam matematika yang akan menjadi karakteristik utama bagi geometri saat memasuki abad 20.

E.   22 PROBLEM MATEMATIKA

            Hilbert juga dikenal karena mengemukakan 23 problem atau tantangan matematika bagi para matematikawan. Lewat pidatonya pada konggres internasional matematikawan kedua di Paris, disebutkan 23 problem yang menantang kreativitas para matematikawan. Disebutkan bahwa suatu problem matematika mampu merangsang otak-otak kreatif untuk berusaha menemukan solusi, namun apa yang diperoleh terkadang jauh dari harapan. Bukan berarti hasil sampingan (by-product) ini tidak berguna, justru hal ini akan memperkaya khasanah matematika. Fermat (baca: Fermat dan Wiles), sebagai contoh, meninggalkan TTF (Theorema Terakhir Fermat) yang mendorong adanya penemuan bilangan-bilangan ideal dari Kummer dan melakukan generalisasi dalam bidang aljabar yang diprakarsai oleh Dedekind dan Cantor akan mendasari teori bilangan modern dan akhirnya teori fungsi.

Problem bilangan kardinal kontinuum dari Cantor

1. Keselarasan (compatibility) aksioma-aksioma dalam aritmatika
2. Kesamaan isi dari dua tetrahera yang mempunyai alas dan tinggi sama
3. Problem garis lurus sebagai jarak terpendek antara dua titik
4. Konsep transformasi kelompok (grup) berkesinambungan tanpa asumsi yang dapat berbedaa (differentiability) dari fungsi-fungsi dalam kelompok dari Lie.
5. Perlakuan matematikal terhadap aksioma-aksioma dalam fisika.
6. Bilangan-bilangan irrasional dan transenden tertentu
7. Problem bilangan-bilangan prima
8. Pembuktian dari hukum umum ketimbalbalikkan (reciprocity) dari berbagai bilangan dalam bidang.
9. Determinasi dari solvabilitas persamaan Diophantus
10. Bentuk-bentuk kuadratik dengan koefisien-koefisien aljabarik numerikal
11. Perluasan theorema Kronecker pada bidang Abelian bagi rasionalitas dalam lingkup aljabarik.
12. Ketidakmungkinan mencari solusi persamaan untuk dalam bentuk pangkat tujuh dengan menggunakan fungsi-fungsi yang mempunyai dua argumen.
13. Pembuktian terbatasnya sistem fungsi-fungsi lengkap tertentu
14. Dasar tak terbantahkan dari kalkulus enumeratif Schubert
15. Problem topologi dari kurva-kurv dan permukaan-permukaan aljabarik.
16. Ekspresi bentuk-bentuk tertentu dari persegi panjang
17. Membangun ruang dari polyhedra congruent
18. Apakah solusi untuk problem-problem umum dalam variasi kalkulus selalu membutuhkan analitik
19. Problem umum nilai-nilai batas
20. Bukti keberadaan persamaan-persamaan diferensial linier mempunyai kelompok monodromik yang sudah dijabarkan
21. Penyeragaman relasi-relasi analitik dalam fungsi-fungsi otomorphik
22. Pengembangan lebih lanjut metode variasi-variasi kalkulus

F.    RUANG HILBERT

            Karya Hilbert tentang persamaan-persamaan integral yang terbit pada tahun 1909, merintis penelitian dalam analisis fungsional (cabang matematika dimana fungsi-fungsi dipelajari secara terpisah). Karya ini juga memberi dasar kiprahnya dalam ruang dimensional tak terhingga (infinite-dimensional space), yang kemudian lebih dikenal dengan sebutan ruang Hilbert. Konsep ini berguna dalam analisis matematikal dan mekanika quantum. Penggunaan persamaan-persamaan integral, Hilbert mampu memberi sumbangsih bagi perkembangan fisika matematikal dan yang paling penting adalah memoarnya tentang teori gas kinetik dan teori radiasi.

Ada beberapa orang yang menyebut bahwa pada tahun 1915, Hilbert sudah menemukan persamaan-persamaan bidang untuk relativitas umum sebelum dicetuskan oleh Einstein. Terdapat catatan yang menyebutkan bahwa Hilbert mengirimkan artikel tersebut pada tanggal 20 November 1915, lima hari sebelum Einstein menyerahkan artikel yang berisikan ralat terhadap persamaan-persamaan bidang. Artikel Einstein muncul pada tanggal 2 Desember 1915, tapi bukti bahwa makalah Hilbert (tertanggal 6 Desember 1915) tidak mencantumkan persamaan-persamaan bidang.

Misalkan V adalah ruang vector dari semua barisan tak terhingga bilangan-bilangan real (a1, a2, a3) yang memenuhi

∑_(i=1)^-▒ai^2 =a_1  2 + a_22 + …<∞

Dengan kata lain, jumlahnya konvergen. Penambahan dan perkalian skalar didefenisikan dalam V dengan komponen-komponennya yaitu jika

                        u =  (a1, a2,...) dan  v = (b1, b2,...)

maka                            u+v = (a1 + b1, a2 + b2, ....)

hasilkali dalam di defenisikan dalam v sebagai

                                    ( u, v ) = a_1 b_1 + a_2 b_2 + ...

Jumlah diatas konvergen secara absolut untuk sebarang pasangan titik dalam v. sehingga hasil kali dalam di defenisikan dengan baik. Ruang hasilkali – dalam ini di sebut ruang Hilbert.

G.  DASAR-DASAR GEOMETRI

            Hilbert menekuni suatu bidang sampai benar-benar tuntas. Setelah usai dengan “Zahlbericht”, dia mulai beralih ke geometri. Sejak tahun1894 dia mengajar geometri non-Euclidian dan pada periode 1898-1899mengeluarkan buku “Dasar-dasar Geometri” (Grundlagen der Geometrie). Buku ini dapat disebut karya besar karena kemudian diterjemahkan ke bahasa negara terkemuka dan membawa dampak besar bagi perkembangan geometri pada abad 20. Geometri yang selama ini seakan dilupakan sejak Euclid, dijabarkan ulang dan banyak direvisi ulang oleh Hilbert. Hilbert merintis dengan memasukkan “karanter: aljabar dan analisis ke dalam geometri.

            Sistematika geometri dilakukan dengan membagi menjadi 3 obyek: titik, garis dan bidang dan enam kemungkinan keterhubungan. Lewat buku itu, Hilber mengukuhkan diri sebagai penggagas “aliran aksiomatik” yang memberi dampak besar terhadap matematika dan pendidikan matematika. Pangantar buku diawali dengan kutipan [Immanuel] Kant; “Semua pengetahuan manusia, diawali oleh intuisi, menghasilkan konsep-konsep, dan diakhiri dengan ide-ide.” Kutipan ini digunakan untuk menunjukkan bahwa dirinya anti-Kant. Menurutnya tidak ada [peran] intuisi dalam mempelajari geometri, dimana titik, garis dan bidang adalah elemen-elemen dari suatu himpinan tertentu. Teori himpunan (set theory) yang selama ini masuk wilayah aljabar dan analisis dipakai dalam geometri.

H.  AXIOMATIZATION GEOMETRI

Teks Grundlagen der Geometrie (tr .: Yayasan Geometry) yang diterbitkan oleh Hilbert pada tahun 1899 mengusulkan satu set formal, aksioma yang Hilbert, menggantikan tradisional aksioma Euclid . Mereka menghindari kelemahan yang diidentifikasi dalam orang-orang dari Euclid , yang karya-karyanya pada waktu itu masih digunakan buku-fashion. Sulit untuk menentukan aksioma yang digunakan oleh Hilbert tanpa mengacu pada sejarah penerbitan Grundlagen sejak Hilbert berubah dan dimodifikasi mereka beberapa kali. Monografi asli segera diikuti oleh terjemahan Perancis, di mana Hilbert menambahkan V.2, Kelengkapan Aksioma. Terjemahan bahasa Inggris, disahkan oleh Hilbert, dibuat oleh EJ Townsend dan hak cipta pada tahun 1902. Terjemahan ini dimasukkan perubahan yang dibuat dalam terjemahan Perancis dan sehingga dianggap terjemahan dari edisi ke-2. Hilbert terus melakukan perubahan dalam teks dan beberapa edisi muncul di Jerman. Edisi ke-7 adalah yang terakhir muncul dalam hidup Hilbert. Edisi baru diikuti 7, tapi teks utama pada dasarnya tidak direvisi.

Pendekatan Hilbert mengisyaratkan pergeseran ke modern metode aksiomatik . Dalam hal ini, Hilbert diantisipasi oleh Moritz Pasch pekerjaan 's dari 1882. Aksioma tidak diambil sebagai kebenaran jelas. Geometri dapat mengobati hal, tentang apa yang kita miliki intuisi yang kuat, tetapi tidak perlu untuk menetapkan makna eksplisit untuk konsep terdefinisi. Unsur-unsur, seperti titik , garis , bidang , dan lain-lain, bisa diganti, karena Hilbert dilaporkan telah mengatakan kepada Schoenflies dan Kotter , dengan meja, kursi, gelas bir dan benda-benda lain seperti itu.Hal ini didefinisikan mereka hubungan yang dibahas.

Hilbert pertama menyebutkan konsep terdefinisi: titik, garis, bidang, berbaring di (hubungan antara titik dan garis, titik dan pesawat, dan garis dan pesawat), betweenness, kesesuaian pasang poin ( segmen garis ), dan keselarasan dari sudut . Aksioma menyatukan kedua geometri pesawat dan geometri padat dari Euclid dalam satu system.

I.      KARYA BERSAMA

            Hermann Minkowski meninggal pada tahun 1909, meninggalkan kepedihan mendalam bagi Hilbert. Setelah merasa tuntas dengan geometri dan analisis - tidak diuraikan, Hilbert masuk fisika matematika. Sebelum dan setelah PD I, meneliti aplikasi persamaan-persamaaan integral untuk memecahkan teori-teori fisika seperti teroi kinetik dari gas. Penjelajahan ini membuat dia berkolaborasi dengan Emmy Noether (1888-1935) dalam mempelajari invarian diferensial. Emmy adalah anak aljabaris, Max Noether yang ditarik dari Gottingen oleh Hilbert dan Kelin untuk melakukan penelitian bersama. Hasil sampingan adalah Emmy mampu mengeluarkan buku pada tahun 1918 yang berisikan “Theorema Noether.”

            Sejak tahun 1990, Hilbert sudah mengerjakan aksiomatisasi, yang dimaksudkan untuk memecahkan problem fisika yang terkait dengan mekanika quantum. Hasil akhir sudah akan diraih namun karena problem kesehatan, maka tongkat estafet penelitian diserahkan - lewat kolaborasi – dengan L. Nordheim dan J. von Neumann. Karya puncak Hilbert dalam aksiomatisasi aritmatikda dan logika dapat kita nikmati lewat para penerusnya. Karya Dasar-dasar matematika dan Dasar-dasar logika matematika lebih mengenalkan kolaboratornya sebagai Hilber-Bernays dan Hilbert-Ackermann.

J.     SUMBANGSIH

            Banyak cabang matematika yang ditekuni oleh Hilbert, dimana masing-masing mampu menunjukkan kualitasnya sehingga sangat sulit menyebutkan sumbangsih Hilbert secara spesifik. Dapat disebutkan teori invarian, bidang-bidang bilangan aljabarik, analisis fungsional, persamaan-persamaan integral, fisika matematikal dan variasi-variasi kalkulus. Ada yang menyebutkan bahwa bakat matematikal ditunjang dengan mengemukakan pemikiran-pemikiran baru dan menghubungkan semua disiplin-disiplin ilmu tersebut merupakan betapa banyaknya “jasa” Hilbert bagi perkembangan matematika dan fisika – khususnya mekanika quantumm baik secara sendiri maupun sebagai karya kolaborasi. Problem yang dikompilasi akan terus berupaya dipecahkan oleh matematikawan era berikutnya.