Integral Trigonometri

Integral trigonometri merupakan integral yang menggunakan fungsi-fungsi trigonometri.

Berikut ini adalah rumus-rumus inetgral trigonometri :

∫ cos x dx = sin x + c
∫ sin x dx = -cos x + c
∫ sec² x = tan x + c
∫ csc² x = -cot x + c
∫sec x tan x = sec x + c
∫ csc x cot x = – csc x + c

Selanjutnya rumus-rumus yang ada bisa diperluas menjadi :

∫ cos (ax + b) dx = 1/a sin (ax + b) + c
∫ sin (ax + b) dx = -1/a cos (ax + b) + c
∫ sec² (ax + b) =  1/a tan (ax + b) + c
∫ csc² (ax + b) = – 1/a cot (ax + b) + c
∫sec (ax + b) tan (ax + b) = 1/a sec (ax + b) + c
∫ csc (ax + b) cot (ax + b) = – 1/a csc (ax + b) + c

Biar lebih mudah langsung ke contoh soal saja ya :-)

Contoh 1

∫(cos 7x + sin 5x) dx = ….
Jawab :
∫(cos 7x + sin 5x) dx = 1/7 cos 7x – 1/5 cos 5x + c

Contoh 2

∫(x – 1) sin (x² – 2x + 5) dx = …
Jawab :
misal
y = x² – 2x + 5
dy/dx = 2x – 2
dx = dy/(2x – 2) = 1/2 dy/(x – 1)
Jadi,
∫(x – 1) sin (x² – 2x + 5) dx
= ∫(x – 1) sin y 1/2 dy/ (x -1)
= ∫ 1/2 sin y dy
= – 1/2 cos y + c
= – 1/2 cos (x² – 2x + 5) + c

Contoh 3

∫ (x² – 4x) cos (x³ – 6x² + 7) dx = …
Jawab :
misal y = x³ – 6x² + 7
maka dy/dx = 3x² – 12x
sehingga dx = dy/(3x² – 12x)
atau  dx = 1/3 dy/(x² – 4x)
Jadi
∫ (x² – 4x) cos (x³ – 6x² + 7) dx
= ∫ (x² – 4x) cos y 1/3 dy/(x² – 4x)
= 1/3 ∫ cos y dy
= 1/3 sin y + c
= 1/3 sin (x³ – 6x² + 7) + c

Sebelum kita lanjutkan ke contoh berikutnya, ingat baik-baik rumus-rumus trigonometri berikut :

2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)
2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)
-2 sin A sin B = cos (A + B) – cos (A – B)

Contoh 4

∫ 2 cos 7x cos 2x dx = ….
Jawab :
∫ 2 cos 7x cos 2x dx
= ∫ cos 9x + cos 5x dx
= 1/9 sin 9x + 1/5 sin 5x + c

Contoh 5

∫ sin 5x cos 3x dx = …
Jawab :
∫ sin 5x cos 3x dx

= 1/2 ∫ (sin 8x + sin 2x) dx
= 1/2 ( – 1/8 cos 8x – 1/2 cos 2x) + c
= – 1/16 cos 8x – 1/4 cos 2x + c

Contoh 6

∫ sin 6x sin 3x dx = …
Jawab :
∫ sin 6x sin x dx
= – 1/2 ∫ (cos 7x – cos 5x) dx
= – 1/2 ( 1/7 sin 7x – 1/5 sin 5x) + c
= – 1/14 sin 7x + 1/10 sin 5x + c

Ingat juga rumus-rumus berikut
sin² x = 1/2 – 1/2 cos 2x
cos² x = 1/2 + 1/2 cos 2x

Contoh 7

∫ cos² x dx =  …
Jawab :
∫ cos² x dx
=  ∫ ( 1/2 + 1/2 cos 2x) dx
= 1/2 x + 1/4 sin 2x + c

Contoh 8

∫sin² x dx = …
Jawab :
∫sin² x dx
=  ∫ ( 1/2 – 1/2 cos 2x) dx
= 1/2 x – 1/4 sin 2x + c

Contoh 9

∫ cos² 3x dx
Jawab :
∫ cos² 3x dx
=  ∫ ( 1/2 + 1/2 cos 6x) dx
= 1/2 x + 1/14 sin 2x + c

Contoh 10

∫sin² 7x dx
Jawab :
∫ sin² 7x dx
=  ∫ ( 1/2 – 1/2 cos 14x) dx
= 1/2 x + 1/28 sin 14x + c

Contoh 11

∫ cos⁴ x dx
Jawab :
∫ cos⁴ x dx
=∫ (cos² x)² dx
= ∫ (1/2 + 1/2 cos 2x)² dx
= ∫ (1/4 + 1/2 cos 2x + 1/4 cos² 2x) dx
= ∫ (1/4 + 1/2 cos 2x + 1/4 (1/2 + 1/2 cos 4x)) dx
= ∫ (1/4 + 1/2 cos 2x + 1/8 + 1/8 cos 4x) dx
= ∫ (3/8 + 1/2 cos 2x + 1/8 cos 4x) dx
= 3/8 x + 1/4 sin 2x + 1/32 sin 4x + c

Contoh 12

∫sin⁴ x dx = …
Jawab :
∫sin⁴ x dx
=∫ (sin² x)² dx
= ∫ (1/2 – 1/2 cos 2x)² dx
= ∫ (1/4 – 1/2 cos 2x + 1/4 cos² 2x) dx
= ∫ (1/4 – 1/2 cos 2x + 1/4 (1/2 + 1/2 cos 4x)) dx
= ∫ (1/4 – 1/2 cos 2x + 1/8 + 1/8 cos 4x) dx
= ∫ (3/8 – 1/2 cos 2x + 1/8 cos 4x) dx
= 3/8 x – 1/4 sin 2x + 1/32 sin 4x + c