Logika Matematika

 LOGIKA MATEMATIKA

Logika Matematika adalah salah satu materi pokok yang diajarkan di sekolah dan universitas. Pada pembahasan kali ini, saya akan mencoba membahas materi Logika matematika ini dengan cara semudah-mudahnya. Untuk mempermudah Anda, saya sudah menyertakan contoh-contohnya.

Saya pribadi mendapat materi Logika Matematika pada saat kelas X dan di kampus pada semester 1. Tapi ketika saya membaca buku matematika kurikulum 2013, kelihatannya materi ini sudah dihapus dan tidak akan diajarkan lagi di sekolah. Entah itu saya yang belum cermat membaca atau memang tidak ada. Saya juga tidak tahu alasan mengapa materi ini dihapus. Padahal menurut dosen saya, mata kuliah pada semester awal adalah pondasi untuk belajar di semester selanjutnya, sedangkan materi ini diajarkan di semester 1. Dari sana saja bisa dilihat betapa pentingnya peran Logika Matematika untuk memahami materi selanjutnya. Tapi kok dihapus??? Apa mungkin karena materi ini terlalu mudah??? I don't know.

Pengertian Logika

Secara etimologi, istilah Logika berasal dari bahasa Yunani, yaitu logos yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga ilmu pengetahuan. Dalam arti luas, Logika adalah sebuah metode dan prinsip-prinsip yang dapat memisahkan secara tegas antara penalaran yang tepat dengan penalaran yang tidak tepat.

Jika kita membahas logika, kita akan berkenalan dengan penalaran. Penalaran merupakan penjelasan dalam upaya memperlihatkan hubungan antara dua hal atau lebih berdasarkan sifat-sifat atau hukum-hukum tertentu yang sudah diakui kebenarannya dengan langkah-langkah tertentu yang berakhir dengan sebuah kesimpulan. Dengan kata lain, penalaran dapat diartikan sebagai penarikan kesimpulan dalam sebuah argumen.

Dalam Logika, kita mempelajari dan meneliti apakah sebuah penalaran yang telah kita lakukan itu tepat atau tidak. Untuk dapat berpikir dengan tepat, Logika menawarkan sejumlah aturan atau kaidah-kaidah yang harus diperhatikan agar kesimpulan yang kita peroleh hasilnya tepat.

Orang yang pertama kali merintis dan mempelopori Logika adalah Aristoteles, seorang filsafat Yunani yang hidup pada 348-322 SM. Ia mengobservasi dan mencatat hukum-hukum dari logika formal, yaitu logika yang kesahihan dari langkah-langkahnya dipandang hanya berdasarkan bentuk dari rangakaian langkah-langkah itu dan tidak bergantung pada materi persoalan sehingga berlaku baik di ilmu alam, ilmu kimia, maupun ilmu-ilmu lain serta dalam kehidupan sehari-hari.

Sebagai contoh:

Premis 1 : Semua a adalah b

Premis 2 : Semua b adalah c

Kesimpulan : Semua a adalah c

Langkah di atas menghasilkan sebuah kesimpulan yang tidak tergantung pada isi a, b dan c.

Dengan mempelajari Logika ini diharapkan kita mempunyai pola berpikir yang tepat, akurat, rasional, kritis dan obyektif. Selain itu, dengan mempelajari prinsip-prinsip Logika, ini juga akan membantu kita untuk menjadi lebih efektif dalam mengenal dan menghindari kesalahan dalam penalaran, baik penalaran yang dilakukan orang lain, maupun yang dilakukan oleh diri sendiri. Seseorang yang dapat mengenal dan menghindari kesalahan logika dalam penalaran akan dapat berpikir yang jelas dan tepat, lebih baik dan lebih yakin, apapun yang mungkin merupakan pokok persoalan yang akan dihadapi.

Himpunan Semesta Pembicaraan

Kok ada himpunan semesta pembicaraan sih? Bukannya kita sekarang sedang belajar Logika Matematika? Mungkin ada diantara kalian bertanya seperti itu. Mungkin pada materi di sekolah, hal ini kurang mendapat perhatian. Karena ketika kita sedang membicarakan matematika, maka kita harus menentukan terlebih dahulu himpunan semestanya, apalagi untuk Logika Matematika. Sebab benar atau salahnya suatu pernyataaan memang dapat tergantung pada semestanya yang telah disepakati.

Sebagai contoh:

"Berapa x sehingga x + 2 = 12?"

Pasti kebanyakan kita akan menjawab x = 10.

Yap, benar. Anda tidak salah. Karena pikiran kita sudah terbentuk bahwa semesta pembicaraannya adalah semua anggota himpunan bilangan kompleks.

Tapi lain jawaban jika saya bertanya seperti ini,

"Berapa x sehingga x + 1 = 12, dengan x adalah anggota bilangan asli kurang dari 5?"

Jika Anda tahu, silahkan isi jawaban dan alasannya di kolom komentar.

Kalimat = Pernyataan?

Saya ada membaca tulisan di blog lain yang menulis bahwa kalimat itu sama seperti pernyataan. Saya ingin menekankan di sini bahwa itu adalah SALAH.

Tidak semua kalimat merupakan pernyataan, tetapi semua pernyataan merupakan sebuah kalimat. Suatu kalimat yang mengandung nilai benar ataupun salah, tetapi tidak kedua-duanya pada saat yang sama disebut kalimat deklaratif (pernyataan). Kalimat yang tidak dapat dinyatakan sebagai pernyataan dapat berupa kalimat perintah, pertanyaan, kalimat yang tidak jelas, atau kalimat yang mempunyai arti ganda (ambigu).

Sebagai contoh:

• Bilangan 7 adalah bilangan prima.
• Provinsi DKI Jakarta berpenduduk 1 juta jiwa.
• Ambilkan OHP di ruang guru!
• Astaga!
• 2x + 3 > x -1

Dari contoh di atas, kalimat pertama dan kedua adalah contoh pernyataan, dan kalimat lainnya merupakan kalimat biasa. Untuk kalimat kelima tidak disebut sebagai sebuah pernyataan karena belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat yang masih mengandung variabel bisa disebut sebagai kalimat terbuka (bisa dimasukkan apa saja). Kalimat tersebut akan menjadi sebuah pernyataan jika kita telah mengganti nilai x dengan suatu bilangan tertentu. Saya kira sampai disini Anda sudah paham perbedaan kalimat dan pernyataan.

Operasi pada Logika Matematika

Secara umum, operasi pada materi Logika matematika ada dua, yaitu operasi uner dan operasi biner. Sesuai namanya, operasi uner (Monari) adalah operasi yang hanya berhubungan dengan satu unsur, sedangkan operasi biner (Binari) adalah operasi yang berhubungan dengan dua unsur. Operasi uner dalam Logika Matematika hanya ada satu macam, yaitu operasi negasi, dan operasi biner ada empat macam, yaitu operasi konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi.

Operasi Negasi

Negasi biasa juga disebut dengan ingkaran. Nilai kebenaran negasi sebuah pernyataan adalah kebalikan dari nilai kebenaran yang dimiliki oleh sebuah pernyataan. Jika sebuah pernyataan itu bernilai benar, maka negasinya adalah salah, dan begitu pula sebaliknya. Untuk menyatakan negasi, kita bisa menggunakan kata "tidak".

Tabel Nilai Kebanaran Operasi Negasi

Sebagai contoh:

"Pohon ini tinggi"

Pohon ini tinggi bisa disimbolkan dengan p, negasinya bisa disimbolkan dengan atau sehingga pernyataan negasinya menjadi,

"Pohon ini tidak tinggi" atau bisa juga, "Tidak benar bahwa pohon ini tinggi"

Operasi Konjungsi

Dalam Logika Matematika, jika dua pernyataan digabungkan dengan kata penghubung "dan", maka ini disebut sebagai operasi konjungsi. Simbol yang umum digunakan untuk operasi ini adalah ""

Tabel Nilai Kebenaran Operasi Konjungsi

Kesimpulan : Operasi konjungsi bernilai benar apabila kedua pernyataan tersebut bernilai benar.

Sebagai contoh:

• 2 adalah bilangan prima genap dan 5 adalah bilangan prima ganjil, bernilai benar
• 2 adalah bilangan prima genap dan 5 adalah bukan bilangan prima ganjil, bernilai salah
• 2 adalah bukan bilangan prima genap dan 5 adalah bilangan prima ganjil, bernilai salah
• 2 adalah bukan bilangan prima genap dan 5 adalah bukan bilangan prima ganjil, bernilai salah

Operasi Disjungsi

Jika dua pernyataan digabungkan dengan kata penghubung "atau", maka ini disebut sebagai operasi disjungsi. Simbol yang umum digunakan untuk operasi ini adalah ""

Kata "atau" bisa mempunyai dua arti yang berbeda. Jika pernyataan p v q mempunyai arti p atau q, tetapi tidak kedua-duanya, seperti ini disebut disjungsi ekslusif. Sedangkan jika pernyataan p v q mempunyai arti p atau q, atau kedua-duanya, ini disebut disjungsi inklusif (Kalau saya untuk mempermudah menghapal ini saya ingat saja kata ekslusif yang sama artinya dengan spesial / tak ada duanya).

Sebagai contoh:

• Anto dilahirkan di kota Jakarta atau Anto dilahirkan di kota Yogyakarta. (disjungsi ekslusif)
• Anto dilahirkan di kota Jakarta atau Anto dilahirkan di sebuah rumah sakit swasta. (disjungsi inklusif)

Tabel Nilai Kebenaran Operasi Disjungsi Ekslusif

Kesimpulan : Operasi disjungsi ekslusif bernilai benar apabila salah satu pernyataan bernilai benar, tapi tidak kedua-duanya.

Tabel Nilai Kebenaran Operasi Disjungsi Inklusif

Kesimpulan : Operasi disjungsi inklusif bernilai benar apabila salah satu pernyataan tersebut bernilai benar.

Catatan : Operasi disjungsi yang sering digunakan dalam pelajaran Logika Matematika di sekolah adalah operasi disjungsi inklusif.

Sebagai contoh:

• 2 adalah bilangan genap atau 2 adalah bilangan prima, bernilai benar
• 2 adalah bilangan genap atau 2 adalah bukan bilangan prima, tetap bernilai benar
• 2 adalah bukan bilangan genap atau 2 adalah bilangan prima, tetap bernilai benar
• 2 adalah bukan bilangan genap atau 2 adalah bilangan prima, baru bernilai salah

Operasi Implikasi

Jika dua pernyataan mengandung bentuk "jika ... maka ...", maka ini disebut sebagai operasi implikasi. Simbol yang umum digunakan untuk menyatakan operasi ini adalah "".

Tabel Nilai Kebenaran Operasi Implikasi

Kesimpulan : Operasi implikasi bernilai benar apabila pernyataan kedua bernilai benar, atau kedua pernyataan tersebut bernilai sama.

Sebagai contoh:

• Jika air habis, maka manusia akan mati, bernilai benar
• Jika air habis, maka manusia tidak akan mati, bernilai salah
• Jika air tidak habis, maka manusia akan mati, bernilai benar
• Jika air tidak habis, maka manusia tidak akan mati, bernilai benar

Contoh di atas saya rasa sudah cukup untuk menjawab pertanyaan "Kenapa jika B maka S hasilnya S, sedangkan jika S maka B hasilnya B?" Karena belum tentu penyebab manusia mati hanya karena air habis, kan?

Operasi Biimplikasi

Jika dua pernyataan mengandung bentuk " ... jika dan hanya jika ...", maka ini disebut sebagai operasi biimplikasi. Saya lebih suka menyebut hubungan ini "persyaratan". Simbol yang umum digunakan untuk operasi ini adalah "".

Tabel Nilai Kebenaran Operasi Biimplikasi

Kesimpulan : Operasi biimplikasi bernilai benar apabila kedua pernyataan tersebut bernilai sama.

Sebagai contoh:

• Jantung berdetak jika dan hanya jika manusia hidup, bernilai benar
• Jantung berdetak jika dan hanya jika manusia tidak hidup, ya salah kan?
• Jantung tidak berdetak jika dan hanya jika manusia hidup, salah juga kan?
• Jantung tidak berdetak jika dan hanya jika manusia tidak hidup, baru benar

Syarat manusia hidup adalah jantung berdetak, dan syarat jantung berdetak adalah manusia hidup. Kedua hal tersebut tidak dapat dipisahkan satu sama lain. Inilah yang saya maksud dengan hubungan "persyaratan".

Pernyataan Berkuantor

Seperti yang sudah dibahas, 2x + 3 > x -1 adalah kalimat terbuka (yang mengandung variabel) dan bukan sebuah pernyataan. Untuk mengganti kalimat terbuka tersebut menjadi sebuah pernyataan, kita harus mengganti variabel (x) yang ada dengan suatu nilai. Cara lainnya untuk mengganti kalimat terbuka menjadi sebuah pernyataan adalah dengan menggunakan kuantor. Kuantor sendiri dibagi menjadi dua, yaitu kuantor umum (kuantor universal) dan kuantor khusus (kuantor eksistensial).

Kuantor Umum (Kuantor Universal)

Untuk menyatakan kuantor universal, kita bisa menggunakan ungkapan "Untuk setiap" atau "Untuk semua". Simbol yang umum digunakan untuk menyatakan kuantor umum adalah A terbalik, "".

Sebagai contoh:

x > 0 merupakan kalimat terbuka.

Jika saya ganti menjadi "Untuk setiap x bilangan asli, berlaku x positif (x >0)", apakah bisa kita menyatakan salah atau benar? Bisa, bukan? Jawabannya adalah benar karena 1, 2, 3 dst itu selalu lebih besar dari 0. Dan jika bisa ada nilai kebenarannya, maka ini disebut sebagai pernyataan. Simbol matematikanya adalah

Untuk contoh pernyataan berkuantor universal yang bernilai salah dapat dilihat apabila saya ganti pernyataannya dengan, "Untuk setiap x bilangan asli, x > 2". Kenapa salah? Karena 1 adalah bilangan asli, sedangkan 1 tidak lebih besar daripada 2. Jadi, tidak semua bilangan asli lebih dari 2 dan dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut bernilai salah.

Kuantor Khusus (Kuantor Eksistensial)

Untuk menyatakan kuantor khusus, kita bisa menggunakan ungkapan "Ada", "Terdapat", "Paling sedikit satu", atau "Beberapa". Simbol yang umum digunakan untuk menyatakan kuantor khusus adalah E terbalik, ""

Sebagai contoh:

x > 1 merupakan kalimat terbuka

Jika saya ganti menjadi "Terdapat x bilangan asli sedemikian sehingga x > 1", apakah bisa kita menyatakan salah atau benar? Sekali lagi bisa. Dan jawabannya benar karena 2 > 1 sedangkan 2 adalah anggota bilangan asli. Jadi ini bisa disebut sebagai suatu pernyataan. Simbol matematikanya adalah

Untuk contoh pernyataan berkuantor eksistensial yang bernilai salah dapat dilihat apabila saya ganti pernyataannya dengan, "Terdapat x bilangan asli sedemikian rupa sehingga x < 1". Kenapa salah? Karena tidak ada lagi bilangan asli yang lebih kecil dari 1. Jadi, tidak terdapat bilangan asli yang kurang dari 1 dan dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut bernilai salah.

Negasi Pernyataan Berkuantor

Coba kita melihat pernyataan ini, "Semua manusia pasti mati". Pernyataaan ini bernilai benar.

Negasi dari pernyataan ini adalah "Tidak semua manusia pasti mati", ini sama artinya dengan "Terdapat manusia yang tidak pasti mati". Dan pernyataan ini bernilai salah. Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa negasi yang telah kita buat sudah benar.

Simbol Matematis Negasi Kuantor Universal

Sekarang coba lihat pernyataan ini, "Terdapat tinggi badan manusia yang kurang dari 120 cm". Pernyataan ini bernilai benar.

Negasi dari pernyataan ini adalah "Tidak terdapat tinggi badan manusia yang kurang dari 120 cm", ini sama artinya dengan "Semua tinggi badan manusia lebih dari 120 cm". Dan pernyataan ini bernilai salah. Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa negasi yang telah kita buat sudah benar.

Simbol Matematis Negasi Kuantor Eksistensial

Kesimpulan: (1) Negasi universal = eksistensial; dan (2) Negasi eksistensial = universal

Read More

Sistem Bilangan Inca

Sejarah, Budaya, dan Warisan Peradaban Suku Inca

            Suku Inca merupakan peradaban yang mendiami wilayah Andes di Amerika Selatan dan mengalami perluasan sejak awal abad ke 15 setelah masehi. Peradaban dari suku tersebut ditaklukkan oleh bangsa Spanyol pada 1530-an. Meski takluk, para pemimpin Inca masih memberi perlawanan hingga 1572. Saat itu, kota terakhir mereka yang bernama Vilcabamba berhasil dikuasai kolonial Spanyol.

            Suku Inca membangun peradaban mereka tanpa roda, tenaga hewan pengangkut, perkakas besi, mata uang, atau bahkan sesuatu yang kita anggap sebagai sistem tulisan. Salah satu situs arkeologi yang paling terkenal milik peradaban Inca adalah Machu Picchu, yang dibangun sebagai tempat pengasingan para raja Inca.

            Inca menyebut kerajaan mereka sebagai Tawantinsuyu, atau “Tanah Empat Penjuru”, dan menggunakan bahasa resmi bernama Quechua. Kerajaan dibagi menjadi empat “suyu”, dimana semuanya saling beririsan dengan ibukota, Cuzco. Setiap suyu kemudian dibagi menjadi beberapa provinsi.

            Kerajaan Inca mencapai puncak kejayaan melalui ekspansi yang dilakukan Maharaja Huayna Capac. Ia memerintah dari 1493 hingga sekitar 1527 dan meninggal akibat cacar. Menurut para peneliti, saat berada pada puncak kekuasaan, wilayah kekuasaan kerajaan Inca terentang dari perbatasan Ekuador dan Kolombia sampai sekitar 80 kilometer ke utara kota Santiago, Cili. Wilayah ini diperkirakan seluas 775.000 km² dengan populasi sebanyak 12 juta jiwa.

            Ketika Spanyol menaklukkan kerajaan Inca, mereka takjub dengan apa yang mereka lihat. Kota di Inca memiliki luas seperti kota Eropa lainnya, namun lebih tertata rapih, lebih bersih, dan lebih nyaman dihuni. Selain itu, penjajah Spanyol juga menemukan bahwa sistem jalan dan pengairan di wilayah Andes ternyata lebih baik daripada di Eropa.

Asal Mula Suka Inca

            Peradaban suku Inca berasal dari kota Cuzco yang kini terletak di Peru bagian selatan. Asal mula suku Inca masih meragukan, namun para peneliti menemukan bahwa pada masa sebelum Inca, Cuzco merupakan titik yang menghubungkan dua kerajaan terdahulu, yang satu bernama Wari dan lainnya kerajaan yang terletak di kota Tiwanaku.

            Berada di tengah kedua kerajaan membuat Inca memperoleh banyak keuntungan. Salah satu keuntungan yang terpenting adalah ketersediaan infrastruktur, yang telah dibuat oleh kerajaan sebelumnya. Keberadaan sistem jalan raya dan pengairan dari kerajaan sebelumnya itulah yang akhirnya memberi kemudahan terhadap perluasan wilayah Inca di awal kemunculannya.

            Sejarah lisan Inca, seperti yang terekam oleh bangsa Spanyol, menunjukkan bahwa ekspansi Inca berawal pada masa pemerintahan Pachacuti selama 1438 – 1471. Tradisi lisan setempat berkata bahwa Pachacuti menjadi penguasa setelah menghentikan invasi dari kelompok musuh bernama Chancas. Keberhasilan tersebut membuatnya berusaha memperluas wilayah kekuasaan Inca melebihi dari sekedar wilayah Cuzco.

            Inca lebih memilih untuk membuat musuh menyerah dengan damai. Serangan militer adalah pilihan terakhir. Mereka berusaha melakukan diplomasi, negosiasi, membangun hubungan dengan tetangga, dan mempererat hubungan damai lewat bertukar hadiah, pernikahan, atau aliansi politik. Jika upaya tersebut gagal, mereka akan mengancam melakukan serangan militer, dan jika masih gagal, barulah mereka melakukan serangan militer.

            Meski tidak mengembangkan apa yang kita anggap sebagai sistem tulisan formal, Inca memiliki perangkat perekam, yang dikenal sebagai quipu. Hingga kini, para ilmuwan modern masih belum mampu menerjemahkan hasil rekamannya, namun perangkat tersebut diketahui digunakan untuk menciptakan rekaman seperti saat sensus.

            Cuzco merupakan ibukota dari kerajaan Inca. Kota ini memiliki tempat ibadah terbesar berbentuk kuil bernama “Coricancha” yang berarti “rumah emas.” Kuil ini memiliki emas yang tertanam di berbagaibagian kuil seperti dinding, loteng, dan altar. Emas di Cuzco kemudian dirampas oleh bangsa Spanyol saat merebut wilayah mereka. Setelah ditaklukkan Spanyol, kota Cuzco dibangun kembali dan masih tetap ada sampai saat ini.

Budaya dan Tradisi Suku Inca

            Suku Inca menyembah kumpulan dewa seperti dewa pencipta “Viracocha”, dewa matahari “Inti”, dewa petir “Illapa”, dan dewi bumi “Pachamama”, dan berbagai dewa lainnya. Selain itu, mereka juga memiliki dewa lainnya yang berasal dari wilayah yang ditaklukkan kerajaan. Setiap dewa disembah dalam berbagai ritual seperti berdoa, berpuasa, mengorbankan hewan, dan yang paling mengerikan adalah mengorbankan manusia, biasanya anak dan remaja.

            Suku Inca juga mengawetkan orang yang meninggal menjadi mumi sebagai bagian penting dalam ritual penguburan Inca, bahkan pada mereka yang merupakan orang asing. Setelah direbut Spanyol, seorang bernama Guaman Poma yang berbahasa Quechua dan merupakan penduduk asli Andes, menerbitkan catatan sejarah yang menjelaskan bahwa November merupakan “bulan yang membawa kematian”. Ia menganggap bulan tersebut merupakan waktu dimana masyarakat akan memberi makan para mumi dari nenek moyang mereka.

            Jagung dan daging biasanya dianggap sebagai makanan mewah bagi masyarakat Inca dan hanya dimakan oleh “pengantin” dan pendampingnya setahun sebelum mereka dikorbankan. Selain makanan mewah, terdapat barang lainnya yang termasuk dalam makanan suku Inca termasuk kentang manis, quinoa, buncis, dan cabe.

            Aspek yang paling tidak biasa dari suku Inca adalah aspek ekonomi. Masyarakat Inca lemah dalam sistem pasar dan perdagangan. Setiap penduduk dari kerajaan diberikan seluruh kebutuhan hidup oleh pemerintah, termasuk makanan, peralatan, bahan mentah, dan pakaian. Mereka tidak perlu membayar apapun. Masyarakat Inca juga tidak memiliki toko atau pasar. Kebutuhan yang terpenuhi oleh pemerintah membuat mereka memerlukan mata uang standar atau uang, dan tidak ada gunanya untuk mengeluarkan uang atau berdagang untuk kepentingan tertentu.

Warisan Peradaban Suku Inca

            Warisan suku Inca yang paling dikenal adalah emas dan perak, dan benda-benda ini masih banyak yang terawat hingga saat ini. Akan tetapi, warisan yang paling mengagumkan dari suku Inca adalah produk tekstil. Pakaian buatan suku Inca merupakan pencapaian artistik terbesar menurut masyarakat modern.

            Masyarakat Inca memproduksi katun, mengumpulkan wol, dan keduanya digunakan menjadi produk tekstil yang rumit. Wol yang paling bagus kualitasnya diberi nama cumpi. Wol ini merupakan bahan dasar khusus untuk kerajaan dan bangsawan. Selain keduanya, masyarakat Inca terkadang juga menggunakan bahan dasar yang eksotis, seperti rambut kelelawar atau bulu hummingbird, sebagai salah satu bahan bahan dasar untuk membuat permadani warna-warni.

            Selain tekstil, Inca juga menghasilkan karya batuan yang sangat indah. Pekerja terampil mereka membangun batu secara sempurna tanpa menggunakan mortar apapun. Saking detailnya, bisa dibilang bahwa objek seperti silet pun tidak dapat menemukan ruang jika kedua batu ditumpuk.

            Saat ini, banyak tradisi Inca yang diwariskan dan bertahan di wilayah Andes. Pembuatan tekstil masih populer, makanan yang mereka makanan kini mulai diperkenalkan ke seluruh dunia, situs arkeologis seperti Macchu Picchu menjadi wilayah yang populer untuk menarik turis, dan bahkan bahasa resmi mereka, Quechua, masih banyak digunakan.

            Bahasa Quechia masih banyak digunakan oleh masyarakat Amerika asli. Masyarakat ini diperkirakan berjumlah enam hingga sepuluh juta penduduk dan tinggal di wilayah Andes. Jika mengacu peta saat ini, wilayah ini merentang dari bagian selatan Kolombia menuju Ekuador, Peru, dan Bolivia, hingga mencapai wilayah barat laut dari Argentina dan utara dari Cili.

QUIPU

            Quipu adalah sebuah sistem pengingat yang dipakai oleh suku Inca. Quipu ini adalah sebuah sistem pengingat hitungan dengan menggunakan tali, quipu ini terdiri dari warna tali, putaran tali, dan lapisan tali yang terbuat dari bulu ilama. Quipu ini berisi nilai numerik dan nilai lainnya yg disesuaikan dengan 10 sistem posisi. Quipu bisa terdiri dari beberapa simpul hingga 2000 simpul.

            Kebanyakan data yang disimpan di quipu adalah angka yang terdiri dari bilangan desimal. quipucamaycos seorang akuntan dari tawantinsuyu, menciptakan dan memecahkan kode simpul quipu. Quipumayacos bisa melakukan operasi arotmatika dasar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Mereka juga terus mempelajari mita yaitu sebuah bentuk perpajakan. Selain itu para quipumayacos juga menjalankan sensus penduduk dengan menggunakan quipu ini. dalam sensus tersebut mereka mensensus mulai dari bayi hingga kakek-kakek yang mengalami buta yang berumur di atas 80 tahun.

            Saat ini hanya ada 600 quipus Inca yang masih bertahan, dan sekitar 15-20 quipus (mungkin bukan yang masih hidup juga) yang ditranskripkan sebagai dokumen kolonial Spanyol. Beberapa sejarawan percaya bahwa setiap quipu hanya bisa dibaca oleh Quipucamayoc yang membuat.

            Peradaban di Dunia Baru memiliki akar yang sangat dalam dan kuno. Kota pertama pertama bermunculan di lembah tulang-kering pantai utara Peru dalam 3 milenium SM, dan kemudian menyebar di sepanjang pantai dan naik ke Andes yang tinggi, yang menyebabkan berbunga yang luar biasa budaya dan kerajaan yang berbeda melalui waktu. Ketika conquistadores Spanyol menemui Tahuantinsuyu, dikenal dunia modern sebagai Kekaisaran Inca, mereka telah tersandung pada budaya urban politik paling canggih dan berteknologi maju dari Dunia Baru.

            Masih banyak yang harus dipelajari tentang Inca dan forebearers mereka tetapi salah satu misteri yang paling menarik adalah sistem tulisan mereka, atau tampaknya ketiadaan. Tidak seperti karakter tertulis dari Dunia Lama atau bahkan dari tetangga utara jauh mereka di Mesoamerika telah dicatat oleh orang Spanyol atau ditemukan dalam catatan arkeologi. Dengan kata lain, menurut definisi kami, budaya Andes pernah dikembangkan menulis.

            Atau apakah mereka? Satu hal yang muncul di kedua kronik Spanyol serta catatan arkeologi adalah Quipu (juga beragam ditulis sebagai khipu dan Kipu), perangkat akuntansi berdasarkan tali dan knot. Sebuah Quipu tunggal seringkali beberapa tali diikat. Pada bentuk yang paling sederhana, sebuah "utama" tali mengikat sejumlah "liontin" tali ke dalam unit. Pengaturan ini dapat terulang hingga empat level.

            Isi utama Quipus adalah angka, yang dinyatakan oleh knot pada bagian tali. Tidak seperti kami "Arab" nomor yang menggunakan sepuluh simbol yang berbeda untuk masing-masing digit (0 sampai 9), pembuat Quipu terikat beberapa knot dalam urutan yang ketat merupakan "angka". Digit dapat berkisar dari tidak ada knot (ruang kosong) yang mewakili nol, sembilan knot mewakili sembilan. Misalnya, tujuh knot secara berurutan sama dengan digit 7.

            Beberapa urutan knot merupakan "angka" yang membentuk jumlah yang lebih besar dari sepuluh. Dengan kata lain, Quipu adalah sepuluh berbasis sistem numerik posisi itu, alih-alih dikodekan dalam simbol-simbol tertulis, dikodekan dalam knot. Dalam sistem nomor posisi, posisi di mana "angka" terjadi menentukan nilai sebenarnya. Misalnya, dalam "Arab" sistem, angka 3 dalam jumlah 123 stand untuk jumlah "tiga" karena di akhir nomor. Secara matematis, 3 x 10 = ⁰ 3 x 1 = 3. Di sisi lain, dalam jumlah 321 digit 3 berdiri untuk 300 karena itu adalah ketiga angka terakhir (3 x 10 ² = 3 x 100 = 300). Posisi 3 menentukan eksponen multiplier-nya.

            Demikian pula, jumlah 321 akan diwakili tiga urutan knot, yang pertama dengan tiga knot, yang kedua dengan dua knot, dan yang terakhir dengan satu simpul. Namun, ada twist (mengampuni pun). Tiga jenis knot digunakan dalam Quipu. Umumnya, simpul tunggal (S) digunakan untuk mewakili nilai satu, kecuali dalam posisi yang sangat terakhir (atau digit). Di posisi terakhir, dua jenis simpul yang berbeda digunakan. Angka delapan knot (E) merupakan nilai satu angka terakhir, dimana beberapa empat-putar knot panjang (L) mewakili nilai-nilai yang lebih tinggi dari satu di posisi terakhir. Dengan kata lain, angka delapan knot dan empat-turn simpul panjang keduanya digunakan untuk menandakan akhir dari sebuah nomor.

            Dari sumber-sumber kolonial Spanyol, Quipu digunakan sebagai perangkat akuntansi yang digunakan oleh birokrasi Inca untuk merekam jumlah barang, hewan, dan sumber daya manusia bergerak melalui kekaisaran. Dengan demikian itu tidak pernah dianggap sebagai sistem penulisan yang benar. Namun, beberapa perkembangan terakhir yang menantang gagasan ini.

Sastra Quipu

            Pada tahun 1996 sebuah naskah yang disebut Historia et Rudimenta Linguae Piruanorum terungkap di Italia antara harta keluarga sejarawan Naples. Dokumen ini seharusnya ditulis pada awal abad ke-17 oleh Jesuit dan berisi fragmen Quipu serta penjelasan tentang bagaimana Quipu digunakan untuk mengkodekan bahasa lisan. Menurut naskah, "ideogram" atau simbol dengan makna yang terkenal dari seni Inka digunakan baik sebagai rekaman suara (untuk mewakili suara) atau logograms (untuk menunjukkan kata-kata).

            Untuk mewakili suara dalam sistem ini, simbol dijalin pada awal tali, diikuti dengan nomor. Simbol itu diambil dari ikonografi Andean dan akan mewakili dewa terkenal atau konsep, dan jumlahnya akan menunjuk ke mana suku kata dari kata yang diwakili oleh simbol untuk diucapkan. Salah satu contoh yang diberikan dalam naskah adalah simbol untuk dewa Pachamacac, yang terdiri dari suku kata pa, cha, ca, dan mac. Untuk mewakili suara pa, pembuat Quipu akan menenun simbol Pachacamac diikuti dengan simpul untuk "satu", mengatakan pembaca hanya membaca suku kata pertama dari kata Pachacamac. Hal ini juga memungkinkan untuk mewakili pa dengan menenun simbol Allpachamasca diikuti oleh dua knot, yang berarti suku kata kedua harus dibaca.

            Hal ini juga memungkinkan untuk mewakili Logo dalam sistem ini. Jika simbol tenunan tidak memiliki knot yang menyertainya, maka simbol berfungsi sebagai Logo yang mewakili seluruh kata makna simbol itu. Oleh karena itu, misalnya, Pachacamac simbol dengan sendirinya pada kabel Quipu akan dibaca sebagai Pachacamac.

            Sistem pencampuran simbol dengan angka tidak tepat berarti Quipu yang merupakan sistem penulisan penuh, karena bergantung pada simbol non-Quipu. Namun, naskah yang sama juga menjelaskan terjemahan dari simbol-simbol ini untuk nilai numerik yang berbeda, yang berarti bahwa adalah mungkin untuk benar-benar mewakili rekaman suara atau Logo dengan sekelompok dua nomor Quipu.

            Ada kontroversi seputar naskah ini baik dari klaim radikal tentang tokoh-tokoh sejarah terkenal serta keengganan pemilik untuk memungkinkan tim lebih dari satu penelitian untuk memeriksa dan mempelajarinya. Banyak sarjana dihormati telah dilemparkan meragukan keaslian isinya. Sampai penelitian besar dan independen telah dilakukan pada dokumen ini, wahyu yang tentang Quipu sastra akan meragukan.

Inca Akuntansi

            Puruchuco adalah situs utama regional dan administrasi di dataran tinggi tengah dari Kekaisaran Inca. Selama penggalian di tahun 1950 cache Quipu ditemukan di sebuah guci di dekat reruntuhan istana. Lokasinya menyarankan rumah atau kantor penjaga Quipu atau quipucamayoq. Penelitian baru-baru ini ke dalam koleksi ini Quipu menunjukkan bahwa ia mengandung beberapa bentuk informasi akuntansi hirarkis. Setiap Quipu mengandung banyak kabel numerik liontin yang mewakili angka mulai dari nol sampai ribuan. Berdasarkan jumlah tali numerik, Quipus dapat dibagi menjadi tiga kelompok yang para ulama berlabel tingkat I, II, dan III.

            Sebuah Quipu Puruchuco dapat dibagi menjadi beberapa bagian berdasarkan ruang yang lebih besar antara kelompok kabel liontin. Tingkat I Quipus memiliki enam bagian, tingkat II memiliki tiga, dan tingkat III memiliki hanya satu. Pada semua tingkatan, bagian ini hampir selalu memiliki jumlah yang sama liontin numerik tali diatur dalam pola warna yang sama, menyiratkan bahwa mereka semua mencatat set barang yang sama (mereka mungkin jumlah llama atau gantang jagung, namun tidak ada cara bagi kita untuk tahu). Jika salah satu menambahkan sampai tali numerik di posisi yang sama di bagian yang berbeda dari tingkat I Quipu, jumlahnya sama atau sangat dekat dengan kabel numerik tunggal dalam posisi yang sama dalam satu bagian dari tingkat II Quipu. Demikian pula, tingkat II tali numerik jumlah sampai dengan satu tingkat III kabel numerik. Ini memberitahu kita bahwa informasi akuntansi yang diringkas pada tingkat yang semakin tinggi, dengan tingkat III Quipus kemungkinan besar mewakili grand total barang dari daerah dikelola oleh Puruchuco. Hal ini sangat mungkin bahwa tingkat III Quipus dimaksudkan untuk dikirim ke Cuzco untuk pembukuan kekaisaran.

            Contoh berikut tiga segmen dari kabel tingkat II (UR068) dan segmen dari kabel tingkat III (UR067), ditata sedemikian rupa sehingga penjumlahan dari tingkat angka II sesuai dengan nilai-nilai dalam posisi relatif sama pada tingkat kabel III.

            Selain itu, tingkat II dan III Quipus juga memiliki apa yang disebut "segmen pengantar", sejumlah liontin tali yang muncul sebelum kabel numerik. Dalam setiap segmen pengantar selalu ada kabel liontin yang berisi tiga angka delapan (E) knot. Jika Anda ingat dari sebelumnya, angka delapan knot hanya dapat berfungsi sebagai orang nomor satu di digit terakhir dari nomor Quipu, sehingga urutan tiga angka delapan knot jelas bukan angka. Sebaliknya, ia berpendapat bahwa penampilan mereka pada tingkat II dan III Quipus (yang mungkin terikat untuk pemerintah pusat) menyiratkan bahwa urutan adalah "toponim", pengenal tempat untuk Puruchuco.

            Tiga angka delapan knot mewakili Puruchuco adalah informasi non-numerik pertama kali diidentifikasi dari tali Quipu. Meskipun tergoda untuk mengklaim bahwa ini urutan tiga angka delapan knot adalah Logo, kita tidak bisa mengatakan jika toponim ini membawa nilai apapun linguistik. Dengan kata lain, tiga knot mewakili kota Puruchuco, tapi kita tidak tahu apakah itu juga bisa mewakili kata "Puruchuco". Namun, terlepas dari apakah tiga angka urutan delapan simpul memiliki nilai linguistik atau tidak, ia memberitahu kita bahwa sangat mungkin untuk mengharapkan non-numerik dan bahkan mungkin informasi non-akuntansi dikodekan dalam Quipu.

Read More

Teori Hilbert

DAVID HILBERT (1862-1943)

A.   BIOGRAFI

David Hilbert lahir pada 23 Januari 1862 di Konigsberg, Prusia, sekarang Kaliningrad, Rusia. Ayahnya, Otto Hilbert, adalah seorang hakim kota, posisi yang sangat terhormat di sebuah kota kecil. Constance Hilbert Reid menunjukkan bahwa pengaruh terbesar datang dari ibunya Maria, “seorang wanita biasa… tertarik pada filsafat dan astronomi dan terpesona dengan bilangan prima.” Sebagai seorang anak muda, Hilbert dengan cepat menemukan bahwa matematika sangat mudah datang kepadanya. Sejak ia menuntut ilmu di gymnasium daerah ditempat asalnya yang menekankan pada bahasa, terutama bahasa Latin, atas matematika dan ilmu pengetahuan, waktu itu dia mengesampingkan cintanya kepada matematika sementara dan memusatkan perhatian pada mata pelajaran yang lebih lemah, kemudian dia sadar dan bersumpah untuk kembali ke matematika secepat mungkin.

Ia belajar di universitas di Konigsberg, belajar di bawah Heinrich Weber, satu satunya profesor matematika di Konigsberg. Dia pernah mengunjungi universitas di Heidelberg selama satu semester untuk mendengar ceramah tentang persamaan diferensial oleh Leornard Fuchs. Pada tahun 1882, Hermann Minkowski, seorang rekan mahasiswa di Konigsberg, memenangkan Grand Prix bergengsi des Sciences Mathmatiques dari Akademi Paris pada usia 17 .Mendengar prestasi ini belum pernah terjadi sebelumnya, Hilbert menjadi malu dengan temanya Minkowski. Pada tahun 1884, Adolf Hurwitz menjadi Extraordinariusy, atau asisten profesor, di Konigsberg. Mereka mengembangkan kebiasaan mengambil jalan-jalan harian “ke pohon apel … tepatnya pukul lima” untuk membahas filsafat, sastra, perempuan, dan, di atas segalanya, matematika. Ketiga orang ini telah membentuk sebuah persahabatan yang akan berlangsung sampai akhir hayat mereka. Persahabatan ini adalah faktor paling penting bagi perkembangan matematika Hilbert.

Tahun berikutnya, 1886 hilbert menjadi staf pengajar di Konigsberg sampai tahun 1895, diangkat sebagai dosen utama sampai tahun 1892, dan di angkat menjadi asisten professor sebelum menjadi professor penuh pada tahun 1893. Pimpinan Konigsberg pada saat itu adalah Heinrich Weber yang sangat dikenal karena menghadirkan untuk pertama kalinya defenisi–defenisi abstrak untuk himpunan pada bidang periode 1880- 1890, juga yang mengarang tiga buku teks aljabar. Hilbert juga sering melakukan perjalanan ke mancanegara guna menghadiri kongres matematikawan yang menjadi ciri khas pada abad itu.

B.   SUKSESI

            Tahun 1892, Schward pindah dari Gottingen ke Berlin untuk menggantikan posisi Weierstrass dan Klein memberi penawaran kepada Hilbert untuk mengisi jabatan yang kosong di Gottingen itu kepada Hilbert. Klein gagal membujuk Hilbert dan posisi itu diisi oleh Heinrich Weber yang pindah dari Konigsberg. Posisi Weber, pada tahun 1883, diganti oleh Lindemann yang belum lama menerbitkan pembuktian bahwa Л adalah bilangan transenden. Lindemann pula yang menyarankan agar thesis Hilbert tentang teori invarian dan mendukung agar topik ini terus dipelajari.

            Weber hanya menjabat selama tiga tahun sebelum pindah ke Strasbourg dan, akhirnya, posisi itu diisi oleh Hilbert. Sejak tahun 1895, Hilbert menduduki posisi kepala bidang matematika di Gottingen.

            Ketenaran Hilbert dalam dunia matematika baru bersinar setalah tahun 1900 sehingga banyak institusi-institusi pendidikan berusaha menariknya dari Gottingen, sebelum untuk akhirnya pindah ke universitas Berlin pada tahun 1902 untuk menggantikan posisi Fuchs. Penggantinya di Gottingen adalah temannya, Hermann Minkowski.

C.   TEORI INVARIAN HILBERT

            Karya pertama Hilbert adalah teori invarian pada tahun 1888, dimana dia dapat membuktikan theorema basis yang tersohor. Pembuktian ini dikirimkan sebagai artikel pada Mathematische Annalen. [Paul] Gordan adalah profesor matematika di Erlangen sekaligus pakar dalam teori invarian, namun cara dan metode Hilbert yang revolusioner ini sulit dipahami sehingga perlu pihak ketiga yang menilai. Juri yang ditunjuk adalah Klein. Lewat teman akrabnya, Hurwitz, Hilbert mengetahui bahwa Gordan mengirim surat Klein guna membicarakan artikel tersebut. Mengetahui hal ini Hilbert menulis surat kepada Klein yang isinya menyatakan bahwa dia tidak akan melakukan perubahan pada artikel yang sudah dikirim. Klein menerima dua surat dari Hilbert dan Gordan, dimana saat itu Hilbert adalah asisten pengajar dari Gordan yang sangat terkenal di dunia karena teori invarian. Sisi lain Gordan juga mengetahui hubungan antara Klein dan Hilbert yang sudah terjalin lama. Akhirnya, Klein mengemukakan terobosan invarian dari Hilbert ini dan berjanji akan menerbitkan sebagai artikel pada Annalen, tanpa perubahan sedikitpun.

            Merasa bahwa karyanya dihargai, Hilbert mengembangkan metode lain dalam teori invarian untuk kembali diterbitkan dalam Mathematische Annelen dimana sebelumnya dikirim kepada Klein. Komentar dari Klein adalah: “Tidak perlu diragukan lagi, bahwa makalah ini adalah karya maha penting dalam bidang aljabar umum yang pernah diterbitkan oleh Annalen.”

            Sistimatika invarian Hilbert secara singkat dapat disebutkan sebagai berikut. Misalkan bentuk x dengan pangkat n, untuk menemukan bilangan terkecil dari invarian dan covarian rasional integral dapat dinyatakan sebagai bentuk rasional integral dengan koefisien-koefisien numerikal dari himpunan lengkap.

D.   KARYA HILBERT

            Saat masih di Konigsberg, tahun 1893, Hilbert mengarang Zahlbericht untuk teori bilangan aljabarik. Komunitas matematika Jerman (German Mathematical Society) yang baru didirikan tiga tahun sebelumnya mendaulat agar karya ini dianggap sebagai laporan hasil perkembangan dari komunitas ini selama tiga tahun. Isi pokok buku ini adalah sistesis dari karya Kummer, Kronecker dan Dedekind namun dirangkai dan diisi dengan gagasan-gagasan Hilbert yang cemerlang. Semua gagasan ini sekarang lebih dikenal dengan sebutan teori bidang kelas (Class field theory).

            Karya penting Hilbert adalah makalah “On the Theory of Algebraic Forms” yang dimuat pada Mathematische Annalen pada tahun 1890. Di sini Hilbert mendifisnikan bentuk aljabarik sebagai fungsi homogen integral rasional dalam peubah-peubah tertentu dimana koefisien-koefisien adalah bilangan-bilangan dalam “wilayah rasionalitas” (domain of rationality). Theorema yang menyatakan bahwa untuk deret tak-terhingga S = F1, F2, F3, … dari bentuk-bentuk peubah-peubah n, x1, x2, x3, … xn terdapat bilngan m dalam bentuk berurutan yang diekspresikan sebagai

F = A1F1 + A2F2 + … AmFm

            Dimana Ai adalah bentuk-bentuk yang sama dengan peubah-peubah n. Hilbert mengaplikasikan hasil ini untuk membuktikan sistem terbatas untuk invarian dengan bentuk-bentuk arbitrari banyak peubah.

            Tidak puas dengan teori invarian, Hilbert menjelajahi geometri. Geometri rekaan Hilbert dapat disebut sebagai sebuah karya besar setelah Euclid sendiri. Dari pembelajaran secara sistematik dari geometri Euclidian, Hilbert merumuskan dua puluh satu aksioma dan melakukan analisis terhadap masing-masing signifikansinya. Karya dalam geometri dituang dalam buku berjudul Grundlagen der geometrie pada tahun 1899, di mana geometri ditempatkan dalam tatanan aksioma yang formal. Buku ini terus diperbaharui dalam setiap edisinya dan kelak memberi dampak besar bagi pendekatan aksiomatik dalam matematika yang akan menjadi karakteristik utama bagi geometri saat memasuki abad 20.

E.   22 PROBLEM MATEMATIKA

            Hilbert juga dikenal karena mengemukakan 23 problem atau tantangan matematika bagi para matematikawan. Lewat pidatonya pada konggres internasional matematikawan kedua di Paris, disebutkan 23 problem yang menantang kreativitas para matematikawan. Disebutkan bahwa suatu problem matematika mampu merangsang otak-otak kreatif untuk berusaha menemukan solusi, namun apa yang diperoleh terkadang jauh dari harapan. Bukan berarti hasil sampingan (by-product) ini tidak berguna, justru hal ini akan memperkaya khasanah matematika. Fermat (baca: Fermat dan Wiles), sebagai contoh, meninggalkan TTF (Theorema Terakhir Fermat) yang mendorong adanya penemuan bilangan-bilangan ideal dari Kummer dan melakukan generalisasi dalam bidang aljabar yang diprakarsai oleh Dedekind dan Cantor akan mendasari teori bilangan modern dan akhirnya teori fungsi.

Problem bilangan kardinal kontinuum dari Cantor

1. Keselarasan (compatibility) aksioma-aksioma dalam aritmatika
2. Kesamaan isi dari dua tetrahera yang mempunyai alas dan tinggi sama
3. Problem garis lurus sebagai jarak terpendek antara dua titik
4. Konsep transformasi kelompok (grup) berkesinambungan tanpa asumsi yang dapat berbedaa (differentiability) dari fungsi-fungsi dalam kelompok dari Lie.
5. Perlakuan matematikal terhadap aksioma-aksioma dalam fisika.
6. Bilangan-bilangan irrasional dan transenden tertentu
7. Problem bilangan-bilangan prima
8. Pembuktian dari hukum umum ketimbalbalikkan (reciprocity) dari berbagai bilangan dalam bidang.
9. Determinasi dari solvabilitas persamaan Diophantus
10. Bentuk-bentuk kuadratik dengan koefisien-koefisien aljabarik numerikal
11. Perluasan theorema Kronecker pada bidang Abelian bagi rasionalitas dalam lingkup aljabarik.
12. Ketidakmungkinan mencari solusi persamaan untuk dalam bentuk pangkat tujuh dengan menggunakan fungsi-fungsi yang mempunyai dua argumen.
13. Pembuktian terbatasnya sistem fungsi-fungsi lengkap tertentu
14. Dasar tak terbantahkan dari kalkulus enumeratif Schubert
15. Problem topologi dari kurva-kurv dan permukaan-permukaan aljabarik.
16. Ekspresi bentuk-bentuk tertentu dari persegi panjang
17. Membangun ruang dari polyhedra congruent
18. Apakah solusi untuk problem-problem umum dalam variasi kalkulus selalu membutuhkan analitik
19. Problem umum nilai-nilai batas
20. Bukti keberadaan persamaan-persamaan diferensial linier mempunyai kelompok monodromik yang sudah dijabarkan
21. Penyeragaman relasi-relasi analitik dalam fungsi-fungsi otomorphik
22. Pengembangan lebih lanjut metode variasi-variasi kalkulus

F.    RUANG HILBERT

            Karya Hilbert tentang persamaan-persamaan integral yang terbit pada tahun 1909, merintis penelitian dalam analisis fungsional (cabang matematika dimana fungsi-fungsi dipelajari secara terpisah). Karya ini juga memberi dasar kiprahnya dalam ruang dimensional tak terhingga (infinite-dimensional space), yang kemudian lebih dikenal dengan sebutan ruang Hilbert. Konsep ini berguna dalam analisis matematikal dan mekanika quantum. Penggunaan persamaan-persamaan integral, Hilbert mampu memberi sumbangsih bagi perkembangan fisika matematikal dan yang paling penting adalah memoarnya tentang teori gas kinetik dan teori radiasi.

Ada beberapa orang yang menyebut bahwa pada tahun 1915, Hilbert sudah menemukan persamaan-persamaan bidang untuk relativitas umum sebelum dicetuskan oleh Einstein. Terdapat catatan yang menyebutkan bahwa Hilbert mengirimkan artikel tersebut pada tanggal 20 November 1915, lima hari sebelum Einstein menyerahkan artikel yang berisikan ralat terhadap persamaan-persamaan bidang. Artikel Einstein muncul pada tanggal 2 Desember 1915, tapi bukti bahwa makalah Hilbert (tertanggal 6 Desember 1915) tidak mencantumkan persamaan-persamaan bidang.

Misalkan V adalah ruang vector dari semua barisan tak terhingga bilangan-bilangan real (a1, a2, a3) yang memenuhi

∑_(i=1)^-▒ai^2 =a_1  2 + a_22 + …<∞

Dengan kata lain, jumlahnya konvergen. Penambahan dan perkalian skalar didefenisikan dalam V dengan komponen-komponennya yaitu jika

                        u =  (a1, a2,...) dan  v = (b1, b2,...)

maka                            u+v = (a1 + b1, a2 + b2, ....)

hasilkali dalam di defenisikan dalam v sebagai

                                    ( u, v ) = a_1 b_1 + a_2 b_2 + ...

Jumlah diatas konvergen secara absolut untuk sebarang pasangan titik dalam v. sehingga hasil kali dalam di defenisikan dengan baik. Ruang hasilkali – dalam ini di sebut ruang Hilbert.

G.  DASAR-DASAR GEOMETRI

            Hilbert menekuni suatu bidang sampai benar-benar tuntas. Setelah usai dengan “Zahlbericht”, dia mulai beralih ke geometri. Sejak tahun1894 dia mengajar geometri non-Euclidian dan pada periode 1898-1899mengeluarkan buku “Dasar-dasar Geometri” (Grundlagen der Geometrie). Buku ini dapat disebut karya besar karena kemudian diterjemahkan ke bahasa negara terkemuka dan membawa dampak besar bagi perkembangan geometri pada abad 20. Geometri yang selama ini seakan dilupakan sejak Euclid, dijabarkan ulang dan banyak direvisi ulang oleh Hilbert. Hilbert merintis dengan memasukkan “karanter: aljabar dan analisis ke dalam geometri.

            Sistematika geometri dilakukan dengan membagi menjadi 3 obyek: titik, garis dan bidang dan enam kemungkinan keterhubungan. Lewat buku itu, Hilber mengukuhkan diri sebagai penggagas “aliran aksiomatik” yang memberi dampak besar terhadap matematika dan pendidikan matematika. Pangantar buku diawali dengan kutipan [Immanuel] Kant; “Semua pengetahuan manusia, diawali oleh intuisi, menghasilkan konsep-konsep, dan diakhiri dengan ide-ide.” Kutipan ini digunakan untuk menunjukkan bahwa dirinya anti-Kant. Menurutnya tidak ada [peran] intuisi dalam mempelajari geometri, dimana titik, garis dan bidang adalah elemen-elemen dari suatu himpinan tertentu. Teori himpunan (set theory) yang selama ini masuk wilayah aljabar dan analisis dipakai dalam geometri.

H.  AXIOMATIZATION GEOMETRI

Teks Grundlagen der Geometrie (tr .: Yayasan Geometry) yang diterbitkan oleh Hilbert pada tahun 1899 mengusulkan satu set formal, aksioma yang Hilbert, menggantikan tradisional aksioma Euclid . Mereka menghindari kelemahan yang diidentifikasi dalam orang-orang dari Euclid , yang karya-karyanya pada waktu itu masih digunakan buku-fashion. Sulit untuk menentukan aksioma yang digunakan oleh Hilbert tanpa mengacu pada sejarah penerbitan Grundlagen sejak Hilbert berubah dan dimodifikasi mereka beberapa kali. Monografi asli segera diikuti oleh terjemahan Perancis, di mana Hilbert menambahkan V.2, Kelengkapan Aksioma. Terjemahan bahasa Inggris, disahkan oleh Hilbert, dibuat oleh EJ Townsend dan hak cipta pada tahun 1902. Terjemahan ini dimasukkan perubahan yang dibuat dalam terjemahan Perancis dan sehingga dianggap terjemahan dari edisi ke-2. Hilbert terus melakukan perubahan dalam teks dan beberapa edisi muncul di Jerman. Edisi ke-7 adalah yang terakhir muncul dalam hidup Hilbert. Edisi baru diikuti 7, tapi teks utama pada dasarnya tidak direvisi.

Pendekatan Hilbert mengisyaratkan pergeseran ke modern metode aksiomatik . Dalam hal ini, Hilbert diantisipasi oleh Moritz Pasch pekerjaan 's dari 1882. Aksioma tidak diambil sebagai kebenaran jelas. Geometri dapat mengobati hal, tentang apa yang kita miliki intuisi yang kuat, tetapi tidak perlu untuk menetapkan makna eksplisit untuk konsep terdefinisi. Unsur-unsur, seperti titik , garis , bidang , dan lain-lain, bisa diganti, karena Hilbert dilaporkan telah mengatakan kepada Schoenflies dan Kotter , dengan meja, kursi, gelas bir dan benda-benda lain seperti itu.Hal ini didefinisikan mereka hubungan yang dibahas.

Hilbert pertama menyebutkan konsep terdefinisi: titik, garis, bidang, berbaring di (hubungan antara titik dan garis, titik dan pesawat, dan garis dan pesawat), betweenness, kesesuaian pasang poin ( segmen garis ), dan keselarasan dari sudut . Aksioma menyatukan kedua geometri pesawat dan geometri padat dari Euclid dalam satu system.

I.      KARYA BERSAMA

            Hermann Minkowski meninggal pada tahun 1909, meninggalkan kepedihan mendalam bagi Hilbert. Setelah merasa tuntas dengan geometri dan analisis - tidak diuraikan, Hilbert masuk fisika matematika. Sebelum dan setelah PD I, meneliti aplikasi persamaan-persamaaan integral untuk memecahkan teori-teori fisika seperti teroi kinetik dari gas. Penjelajahan ini membuat dia berkolaborasi dengan Emmy Noether (1888-1935) dalam mempelajari invarian diferensial. Emmy adalah anak aljabaris, Max Noether yang ditarik dari Gottingen oleh Hilbert dan Kelin untuk melakukan penelitian bersama. Hasil sampingan adalah Emmy mampu mengeluarkan buku pada tahun 1918 yang berisikan “Theorema Noether.”

            Sejak tahun 1990, Hilbert sudah mengerjakan aksiomatisasi, yang dimaksudkan untuk memecahkan problem fisika yang terkait dengan mekanika quantum. Hasil akhir sudah akan diraih namun karena problem kesehatan, maka tongkat estafet penelitian diserahkan - lewat kolaborasi – dengan L. Nordheim dan J. von Neumann. Karya puncak Hilbert dalam aksiomatisasi aritmatikda dan logika dapat kita nikmati lewat para penerusnya. Karya Dasar-dasar matematika dan Dasar-dasar logika matematika lebih mengenalkan kolaboratornya sebagai Hilber-Bernays dan Hilbert-Ackermann.

J.     SUMBANGSIH

            Banyak cabang matematika yang ditekuni oleh Hilbert, dimana masing-masing mampu menunjukkan kualitasnya sehingga sangat sulit menyebutkan sumbangsih Hilbert secara spesifik. Dapat disebutkan teori invarian, bidang-bidang bilangan aljabarik, analisis fungsional, persamaan-persamaan integral, fisika matematikal dan variasi-variasi kalkulus. Ada yang menyebutkan bahwa bakat matematikal ditunjang dengan mengemukakan pemikiran-pemikiran baru dan menghubungkan semua disiplin-disiplin ilmu tersebut merupakan betapa banyaknya “jasa” Hilbert bagi perkembangan matematika dan fisika – khususnya mekanika quantumm baik secara sendiri maupun sebagai karya kolaborasi. Problem yang dikompilasi akan terus berupaya dipecahkan oleh matematikawan era berikutnya.

Read More